4.2.2  二维线性谐振子的定态薛定谔方程

4.2.2 二维线性谐振子的定态薛定谔方程

二维线性谐振子的特征值问题有如下形式：

其中，x、y为空间坐标，u为波函数。特征值的解析解为：

其中，λ_m=2m+1，λ_n=2n+1，m=0,1,2,…，n=0,1,2,…。与4.2.1小节类似，因为特征函数随着|x|和|y|的增大而快速衰减，所以在计算范围足够大的前提下可以采用周期性边界条件。

将x、y离散化为：x=(x₁,x₂,…,x_N)^T以及y=(y₁,y₂,…,y_N)^T，再将u离散化为N²维列向量：

那么，(-∂²/∂x²-∂²/∂y²+x²+y²)的矩阵形式为：

同样利用eig函数求解此矩阵的特征值和特征函数，代码如下：(https://www.daowen.com)

程序4-3

结果如图4-5（三维图）、图4-6（等高线图）所示：

图4-5 二维线性谐振子的前16个特征值和特征函数

图4-6 二维线性谐振子的前16个特征值和特征函数（等高线图）