5.3.1  一维泊松方程

5.3.1 一维泊松方程

考虑有如下边界条件的一维泊松方程：

将x和u分别离散化为N+1维向量x=(x₀,x₁,…,x_N)T和u=(u₀,u₁,…,uN)T。注意xN=-1、x₀=1，因为切比雪夫点的坐标是由大到小排列的。针对在左边界的狄利克莱边界条件u_N=0，可用图5-6所示的方法修改矩阵D_N²。针对在右边界的诺依曼边界条件，可将矩阵D_N²的第一行替换为D_N的第一行，如图5-20所示。修改后的矩阵D_N²与向量u相乘所得向量的第一个元素将是u′(x₀)。

图5-20 在狄利克莱边界条件u(-1)=0和诺依曼边界条件u′(1)=0下修改切比雪夫求导矩阵

在D_N²上加“-”代表经过上述修改的切比雪夫求导矩阵，在f上加“-”代表删去向量f=(f(x₀),f(x₁),…,f(x_N))^T的最后一个元素（狄利克莱边界条件）并将其第一个元素替换为函数在右边界处的导数值u′(x₀)=u′(1)=0（诺依曼边界条件）。求解式（5-56），只需：

最后在N维向量ū的末尾补0。

在切比雪夫求导矩阵上乘以缩放因子可将上述方法推广至任意区间，以下面的一维泊松方程为例：(https://www.daowen.com)

u′′=e^x,-2<x<2,u′(2)=u(-2)=0 （5-58）

其精确解为：u=e^x-e²x-e^-2-2e²。计算数值解并与精确解比较的代码如下：

程序5-17

程序输出结果如图5-21所示，数值结果与精确解基本吻合，最大误差在10^-13数量级。

图5-21 左图：一维泊松方程的数值解（点）和精确解（曲线），右图：误差分布