13.1.2 非线性分析的基本信息
ANSYS程序的方程求解器计算一系列的联立线性方程来预测工程系统的响应。然而，非线性结构的行为不能直接用这样一系列的线性方程表示。需要一系列的带校正的线性近似来求解非线性问题。
1.非线性求解方法
一种近似的非线性求解是将载荷分成一系列的载荷增量。可以在几个载荷步内或者在一个载荷步的几个子步内施加载荷增量。在每一个增量的求解完成后，继续进行下一个载荷增量之前程序调整刚度矩阵以反映结构刚度的非线性变化。遗憾的是，纯粹的增量近似不可避免地随着每一个载荷增量积累误差，导致结果最终失去平衡，如图13-3a所示。
图13-3 纯粹增量近似与牛顿-拉普森近似的关系
a）普通增量式解 b）全牛顿-拉普森迭代求解（2个载荷增量）
ANSYS程序通过使用牛顿-拉普森平衡迭代克服了这种困难，它迫使在每一个载荷增量的末端解达到平衡收敛（在某个容限范围内）。图13-3b描述了在单自由度非线性分析中牛顿-拉普森平衡迭代的使用。在每次求解前，NR方法估算出残差矢量，这个矢量是回复力（对应于单元应力的载荷）和所加载荷的差值。程序然后使用非平衡载荷进行线性求解，且核查收敛性。如果不满足收敛准则，重新估算非平衡载荷，修改刚度矩阵，获得新解。持续这种迭代过程直到问题收敛。
ANSYS程序提供了一系列命令来增强问题的收敛性，如自适应下降、线性搜索、自动载荷步及二分法等，可被激活来加强问题的收敛性，如果不能得到收敛，那么程序要么继续计算下一个载荷步要么终止（依据用户的指示而定）。
对某些物理意义上不稳定系统的非线性静态分析，如果仅仅使用NR方法，正切刚度矩阵可能变为降秩矩阵，导致严重的收敛问题。这样的情况包括独立实体从固定表面分离的静态接触分析，结构或者完全崩溃或者“突然变成”另一个稳定形状的非线性弯曲问题。对这样的情况，可以激活另外一种迭代方法（弧长方法），来帮助稳定求解。弧长方法导致NR平衡迭代沿一段弧收敛，从而即使当正切刚度矩阵的倾斜为零或负值时，也往往阻止发散。这种迭代方法以图形表示在图13-4中。
图13-4 传统的NR方法与弧长方法的比较
2.非线性求解级别
非线性求解被分成以下3个操作级别。
1）“顶层”级别由在一定“时间”范围内拟明确定义的载荷步组成。假定载荷在载荷步内是线性地变化的。(https://www.daowen.com)
2）在每一个载荷子步内，为了逐步加载可以控制程序来执行多次求解（子步或时间步）。
3）在每一个子步内，程序将进行一系列的平衡迭代以获得收敛的解。
图13-5说明了一段用于非线性分析的典型的载荷历史。
3.载荷和位移的方向改变
当结构经历大变形时应该考虑到载荷将发生了什么变化。在许多情况中，无论结构如何变形，施加在系统中的载荷保持恒定的方向。而在另一些情况中，力将改变方向，随着单元方向的改变而变化。
注意：
在大变形分析中不修正节点坐标系方向。因此计算出的位移在最初的方向上输出。
ANSYS程序对这两种情况都可以建模，依赖于所施加的载荷类型。加速度和集中力将不管单元方向的改变而保持它们最初的方向，表面载荷作用在变形单元表面的法向，且可被用来模拟“跟随”力。图13-6说明了恒力和跟随力。
4.非线性瞬态过程分析
非线性瞬态过程的分析与线性静态或准静态分析类似：以步进增量加载，程序在每一步中进行平衡迭代。静态和瞬态处理的主要不同是在瞬态过程分析中要激活时间积分效应。因此，在瞬态过程分析中，“时间”总是表示实际的时序。自动时间分步和二等分特点同样也适用于瞬态过程分析。
图13-5 载荷步、子步及“时间”关系图
图13-6 变形前后载荷方向
