毅然回国的东方数学之王

新中国成立的消息传到大洋彼岸，海外学子心向往之。华罗庚于1950年毅然回国，当时他年仅40岁，正值学术研究的黄金时期。新中国成立后的最初十年，也是他精力最充沛的十年，他在这十年中做了很多工作。期间他主要从事的研究仍然是多复变函数，主要工作之一就是多复变函数典型域上的调和分析。

华罗庚对多元复变函数的研究始于20世纪40年代抗战时期。当时的西南联合大学，条件非常艰苦，华罗庚住在人畜共舍的牛棚楼上。他想把单复变数的自守函数理论推广到多元复变函数。华罗庚早就认识到单变数的自守函数的推广是典型域上的自守函数。同样，他认为单位圆上的调和分析的推广是典型域上的调和分析。他用群表示理论具体构造了典型域上的绝对值平方可积全纯函数的一组完备正交归一函数系。

在多复变数函数论的研究中，平面上的单速通域的推广应当是单速通可递域，而单速通可递域的绝大部分是“典型域”。这些典型域乃是华罗庚所创矩阵几何学中的“双曲几何学”的空间。华罗庚系统地研究了各种不同典型域的正交就范系，运用群表示论的方法来分析所关联的希尔伯特空间，再通过巧妙的计算方法定出就范常数。(https://www.daowen.com)

华罗庚指出特征流形上的正交就范系的重要性，并由这一正交就范系作出Cauchy公式和Pioson公式。他指出了特征流形上的调和分析和Cauchy、Pioson公式的内在关系。由Pioson公式所定义的调和函数对普通的调和函数是一种有力的推广。他还得出一个函数为调和函数的必要且充分条件的偏微分方程组。这给偏微分方程的研究提供了新的问题。

总的来说，华罗庚的工作完整地获得了典型域上多复变函数的基本公式。此外，他对定积分求积、极数求和、代数恒等式等研究都可以表现出他所具有的高超运算技巧。上述工作深刻影响了多复变函数论及偏微分方程组理论的发展。