2.1　引 言

统计学（Statistics）是一门关于数据资料的收集、整理、分析和推断的科学。数理统计（Mathematical Statistics）作为一类有效的、区别于一般资料统计的、全新的统计方法，随着概率论的理论和思想向各个基础学科、工程技术学科以及社会学科不断渗透，已逐渐发展成为一个具有广泛应用的数学分支。它以概率论作为理论基础，又为概率论的应用提供了广阔的天地。两者相互推动，迅速发展，已建立起完整的理论构架，并获得了大量丰富而重要的结果。

那么，究竟什么是数理统计？或者说，它在研究随机现象的方法以及考察问题的角度上与概率论有哪些主要区别呢？

在熟悉了各类事件概率的计算以及各种分布或数字特征的性质后，会发现概率论研究问题的方式，几乎总是从“一般”到“个别”，或者说，总是假定已经知道了研究对象的整个情况，然后求出某些具体情况下的结果，以获得对随机现象中某些数量规律的认识。例如：在产品质量检验中，假定整批产品中的不合格品数是已知的，求随机抽取的100件产品中不合格品数为5的概率；在保险公司的索赔案例中，假定全部索赔中被盗索赔占15%，求10个索赔要求其中有3个被盗索赔的概率；在癌症诊断中，假定每10 000人中癌症患者的人数是4，求试验反应是阳性的人确实患有癌症的概率；另外，在我们遇到的问题中也常常要求具备如下的一些先决条件：诸如假定某地区城镇居民的年收入服从N（5 000，402）；假定某元器件寿命服从参数为0.5的指数分布；假定某一时间间隔内电话交换台收到的呼叫次数服从参数为4的泊松分布等。总之，在这些问题的讨论中，一直假定随机试验总体的整个情况是已知的，或者说随机变量所服从的分布甚至包括分布的具体参数是确切知道的。在这样一个基本假定之下，概率论研究了随机试验出现各种结果的可能性以及随机变量取值的规律性。

然而，在实际问题中，上述这些基本假定往往是不能成立或是无法事先预知的。事实上，一个随机试验的总体情况，或者说一个随机变量所服从的分布不但不是已知的，相反正是人们所希望了解的，是研究的目的。在很多情况下，人们一般只能通过试验取得研究对象的一部分信息，然后利用这一部分信息来推断研究对象的总体信息，从而获得有关研究对象总体的一些规律性的认识。这就是统计推断的一般过程，也正是数理统计研究问题的常用方法。

因此，概率论与数理统计虽然都是研究随机现象规律性的数学分支，但它们所要解决和处理的问题是完全不同的，在考察问题的过程和角度上甚至是截然相反的。具体地说，概率论是从数量侧面考察随机现象，注重随机现象中有关数量规律的研究，置身于公理化体系之中，从而“演绎”出一个个“精确”的具体结果；而数理统计则是依据部分试验或观察得到的数据，以概率论为理论基础，试图尽可能合理、准确地“归纳”出随机现象中所包含的种种规律性。所有这些有关“归纳”方法的研究结果，在加以整理并形成一定的数学模型之后，便构成了数理统计的主要内容。(https://www.daowen.com)

当然，严格地说，数理统计研究的内容通常应该分为两大类。一类是试验的设计与分析，即研究如何更合理、更有效地获得观察资料的方法；另一类则是统计推断（Statistical Inference），即研究如何利用一定的数据资料对所关心的问题作出尽可能精确、可靠的结论。但限于篇幅，本书中将主要讨论统计推断问题。

统计推断，就是“从部分推断整体”，它是在对有关信息缺乏完全掌握的情况下进行的，因而所得结论便不能保证一定准确无误。尽管一个好的统计推断方法可以让结论出错的可能性非常小并使误差得到最有效的控制，然而从根本上避免还是不可能的。此源于人类认识上的局限性，反映了人类对于偶然性的作用无力完全掌握的事实。这是一个无法逾越的缺憾，但同时也是一个能使我们容忍推断结论“不精确”的理由。既然“从部分推断整体”是人类最终认识未知世界的必由之路，那么从某种意义上说，“不精确”的便不是统计推断这个方法本身，而是我们所面对的世界过于纷繁复杂。

可以这样说，数理统计，作为人类探索未知世界的一种有效的思想方法，提供了在不定性占优势的情况下进行判断的工具，也提供了从大量现象中发现某些事物发展规律的途径，更体现了人类在自身局限的约束下认识自然的一种努力。同时，它也揭示了一种原本最为朴素的辩证观，即一种事物从总的方面所呈现出的规律性，不应该因为存在一些例外的个案而遭到一味抹杀。

统计学是20世纪给人类生活带来巨大影响的20项新科技之一，是工农业生产、科学技术深层次、高层次管理的重要工具，而其应用一般不需要增加投资、添置设备就能带来显著的经济效益。