习题3
（一）
3.1 设总体X具有指数分布，它的分布密度为
其中，λ＞0。试用矩估计法求λ的估计量。
3.2 设总体X服从几何分布，它的分布律为
P｛X=k｝=(1-p)k-1p,k=1,2,…
先用矩估计法求p的估计量，再求p的最大似然估计。
3.3 设总体X服从在区间[a，b]上的均匀分布，其分布密度为
其中，a和b是未知参数，试用矩估计法求a与b的估计量。
3.4 设总体X的分布密度为
其中，θ＞0。
（1）求θ的最大似然估计量；
（2）用矩估计法求θ的估计量。
3.5 设总体X的密度为
试求σ的最大似然估计，并指出所得估计量是否是σ的无偏估计。
3.6 设总体X的分布密度为
其中，k是已知的正整数，试求未知参数β的最大似然估计量。
3.7 设总体X分布密度
，0≤x≤β，从中抽得容量为6的样本数值
1.3 0.6 1.7 2.2 0.3 1.1
试求总体平均数和方差的最大似然估计。
3.8 设总体X的分布密度为
试求θ的最大似然估计。
3.9 元件无故障的工作时间X服从指数分布f（x）=λe-λx（x≥0）。取1 000个元件工作时间的记录数据，经分组后，得到它的频数分布如题3.9表所示。
习题3.9表 频数分布
如果各组中数据都取为组中值，试用最大似然法求λ的点估计。
3.10 从一批电子管中抽取100只，若抽取的电子管的平均寿命为1 000 h，标准差S为40 h，试求整批电子管的平均寿命的置信区间（给定置信度为95%）。(https://www.daowen.com)
3.11 随机地从一批钉子中抽取16枚，测得其长度（单位：cm）为
2.14 2.10 2.13 2.15 2.13 2.12 2.13 2.10
2.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.14 2.11
设钉长分布为正态的，试求总体平均数μ的置信度为90%的置信区间：
（1）若已知σ=0.01 cm；
（2）若σ未知。
3.12 为估计制造一批钢索所能承受的平均张力，从其中取样做10次试验。由试验值得平均张力为6 720 kg/cm2，标准差S为220 kg/cm2，设张力服从正态分布，试求钢索所能承受平均张力的置信度为95%的置信区间。
3.13 假定每次试验时，出现事件A的概率p相同但未知，如果在60次独立试验中，事件A出现15次，试求概率p的置信区间（给定置信度为0.95）。
3.14 对于方差σ2为已知的正态总体，问需抽取容量n为多大的样本，才使总体平均数μ的置信度为1-α的置信区间的长度不大于L。
3.15 从正态总体中抽取一个容量为n的样本，算得样本标准差S的数值，设
(1)n=10,S=5.1;
(2)n=46,S=14。
试求总体标准差σ的置信度为0.99的置信区间。
3.16 测得一批钢件20个样品的屈服点（单位：t/cm2）为
4.98 5.11 5.20 5.20 5.11 5.00 5.61 4.88 5.27 5.38
5.46 5.27 5.23 4.96 5.35 5.15 5.35 4.77 5.38 5.54
设屈服点服从正态分布，求μ和σ的置信度为95%的置信区间。这里μ和σ分别是屈服点总体的平均数和标准差。
3.17 对某农作物的两个品种A和B计算了8个地区的亩产量如下：
品种A 86 87 56 93 84 93 75 79
品种B 80 79 58 91 77 82 76 66
假定两个品种的亩产量分别服从正态分布，且方差相等。试求平均亩产量之差置信度为95%的置信区间。
3.18 从某地区随机地抽取男、女各100名，以估计男、女平均高度之差。测量并计算得男子高度的平均数为1.71 m，标准差（S）为0.035 m，女子高度的平均数为1.67 m，标准差（S）为0.038 m。试求置信度为95%的男、女高度平均数之差的置信区间。
3.19 两台机床加工同一种零件，分别抽取6个和9个零件，测量其长度计算得样本方差分别为S21=0.245，S22=0.357。假定各台机床零件长度服从正态分布。试求两个总体方差之比
的置信区间（给定置信度为95%）。
3.20 在一批货物的容量为100的样本中，经检验发现6个次品。试求这批货物次品率的单侧置信上限（置信度为95%）。
3.21 从一批某种型号的电子管中抽出容量为10的样本，计算得样本标准差S=45 h，设整批电子管寿命服从正态分布。试给出这批电子管寿命标准差σ的单侧置信上限（置信度为95%）。
（二）
3.22 试用R解答3.7题。
3.23 试用R解答3.9题。
3.24 试用R解答3.11题。
3.25 试用R解答3.16题。
3.26 试用R解答3.17题。
3.27 试用R解答3.20题。
