前言

非线性偏微分方程在许多科学领域扮演着十分重要的角色。本文以对称为主要求解工具，重点研究非线性偏微分方程的对称群、不变解及守恒律问题。

本书内容包括以下几个方面：

第一章是绪论部分。详细地介绍了非线性偏微分方程的研究背景、意义、研究现状以及常见的研究方法，并给出了本文的主要研究内容。

第二章，在对称分析的基础之上，系统地研究了变系数（2+1）-维非线性薛定谔方程的对称群及不变解。首先，考虑了其特殊情况，即线性的变系数（2+1）-维非线性薛定谔方程，该方程可以转化成相同形式的常系数（2+1）-维非线性薛定谔方程，找到了相应的等价群，在不同的条件限制下，找到了相应的非局域对称。其次，给出了相应的李点对称群，且用相似变换，研究了依赖于空间和时间的变系数（2+1）-维非线性薛定谔方程。最后，给出了变系数（2+1）-维非线性薛定谔方程的精确解。

第三章主要基于非局域对称，研究了三阶Burgers 方程和四阶Burgers 方程，以及一个广义五阶KdV 方程的精确解和守恒律。首先，研究了三阶Burgers 方程的非局域对称、势对称，利用非局域对称，将原方程线性化成线性的三阶偏微分方程，并给出了守恒律。其次，在三阶Burgers 方程基础之上，研究了四阶Burgers 方程，给出了该方程的非局域对称、显式解，并得到了势方程与对称相关的非线性自治性、守恒律。最后，用群方法和守恒律，研究了一个广义的五阶KdV 方程，给出了该方程的对称约化和精确解，对于特殊情况，得到了该方程的标量对称和非平凡守恒律。

第四章主要研究一些常系数的（2+1）-维非线性偏微分方程。首先研究了一个拓展的（2+1）-维Zakharov-Kuznetsov-Burgers 方程。基于经典李对称分析，得到了该方程大量的解，并得到了该方程的非线性自治性和守恒律。最后研究了一个拓展的量子Zakharov-Kuznetsov 方程，给出了该方程的几何对称以及孤立子解。

第五章研究了新的（2+1）-维sine-Gordon 和sinh-Gordon 方程，从拓展的AKNS 系统，推导了这两个方程。基于广田双线性方法，给出了（2+1）-维sine-Gordon 方程的单孤立波解、双孤立波解以及N孤立波解，并得到了该方程的对称。

第六章主要研究了时间分数阶非线性色散方程。首先推导了该方程的完整的李点对称，利用经典李对称分析，得到了该方程相应的向量场，并用向量场来约化方程。最后，基于对称，给出了该方程的守恒律。

最后，在总结与展望部分，概述了本研究的主要工作，并对将来的研究工作方向和有待于要解决的问题进行了展望。

受作者水平所限，书中难免会有疏漏和不妥之处，敬请各位读者及同仁不吝指教。