非线性偏微分方程的对称性、不变解及守恒律的研究_数学物理化学

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前言

非线性偏微分方程在许多科学领域扮演着十分重要的角色。本文以对称为主要求解工具，重点研究非线性偏微分方程的对称群、不变解及守恒律问题。本书内容包括以下几个方面：...

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Preface

Nonlinear partial differential equations play an very important role in many fie...

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第一章　绪论

本书以许多具有实际意义的非线性偏微分方程，主要是数学、物理、力学、光学等科学领域出现的非线性演化方程为研究对象，利用数学工具，主要是特殊的函数变换来研究它们的对...

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1.1　非线性偏微分方程的研究概况

随着科学技术的快速发展，非线性问题在许多领域扮演着越来越重要的角色。非线性科学是一门新兴的交叉学科，数学、力学、物理、化学、生物、天文、气象、航天、医学等科学领...

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1.2　对称理论

李群及其李代数是数学的一个重要分支，是由挪威数学家Marius Sophus Lie 开创[38]。Lie 最主要的成就之一就是将连续变换群应用到微分方程中去。...

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1.2.1　经典李群方法

下面将简要地介绍对于给定的偏微分方程，如何寻求偏微分方程的李对称. 首先，考虑一般的n维偏微分方程系统（包含p个自变量、q个因变量）[44-50] 这里 x=...

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1.2.2　非经典李群方法

非经典对称方法是由Bluman 和Cole[40] 于1969年在研究一维热传导方程时提出，该方法是在经典李群方法的基础之上，通过向量场及其延拓来求得。与经典李...

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1.2.3　非局域李群方法

这一小节，将简单地介绍非局域李群方法，该方法是研究者对经典李群方法的推广。如果无穷小生成元的系数包含了因变量的一阶导数项（接触对称或者切对称）或者高阶导数项（L...

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1.2.4　待定系数法

在此小节，直接给出对称的定义，以及如何利用待定系数法[57]求对称。依然以（1+1）-维情况为例，考虑一般的非线性演化方程[57]：简记为：定义 1....

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1.3　对称和守恒律

对称和守恒律在自然界中扮演着十分重要的角色。大家所熟悉的质量守恒定律、动量守恒定律、能量守恒定律等，守恒律能够很好地描述许多自然现象，实质上，守恒律和对称性有着...

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1.3.1　Noether 定理

1918年，Noether[61]发现对称和守恒律之间的关系，她在定理中指出，如果能找到使下面不变的变换，则对发现守恒律有很重要的帮助。定理 1.3.1 ...

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1.3.2　乘子方法

乘子方法是由Bluman 等人提出[45]，考虑下述方程这里，⋅⋅⋅，和. （1）全导数Di为这里 i，j，k，⋅⋅⋅=1，2，⋅⋅⋅，n 和ι=1，2...

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1.3.3　伴随方程方法

定义1.3.6 [72]方程这里v=（v1，v2，…，vr）是新的变量，v=v（x）定义了（1.44）的伴随方程定理1.3.2 [72]（1.44）...

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1.4　本书选题和主要工作

本书以对称为自始至终的一条主线，所有的内容都围绕对称展开。系统地研究一些非线性偏微分方程的李对称、非局域对称、对称约化、精确解及守恒律。将李群方法拓广到分数阶非...

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第二章　变系数（2+1）-维非线性薛定谔方程的对称群及不变解

...

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2.1　引言

著名的非线性薛定谔（Schrödinger）方程出现在许多科学领域，有不同的非线性薛定谔方程来解释复杂的物理现象。作为最关键的非线性数学物理的模型之一，由于它们...

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2.2　特殊情况：非线性项系数 g（x，y，t）=0.

对于特殊情况，也就是非线性项系数g（x，y，t）=0，首先考虑下面的点变换将（2.2）映射成同类型的方程通过计算，可以得到和这里，a1（t）...

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2.2.1　Lorentz 规范约束

为了寻找势对称，需要考虑其他的规范约束[45，85，86]。这里选择 Lorentz 规范约束，这样，就可以得到下面的势系统经过计算，可以得到此外，还有...

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2.2.2　时间规范约束

基于时间规范约束，产生了下面的势系统经过计算，可以得到和另外的条件 ...

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2.3　李对称分析

基于李对称分析，可以得到 V（x，y，t）满足下面的条件 ...

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2.4　相似变换

这一小节，考虑一般的情况，首先基于一个相似变换，将变系数（2+1）非线性薛定谔方程约化成稳态的立方非线性薛定谔方程这里U=U（ξ）和ξ=ξ（x，y，t）是...

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2.5　本章小结

在本章，从对称的角度系统地研究了变系数（2+1）-维非线性薛定谔方程，也就是，非线性项和势是关于时间和空间的函数。首先，考虑了特殊情况，也就是线性的变系数（2+...

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第三章　（1+1）-维非线性偏微分方程的非局域对称分析、精确解及守恒律

在本章中，基于群分析，系统地研究了一些（1+1）-维非线性偏微分方程，包括三阶Burgers 方程、四阶Burgers 方程、五阶KdV 方程等。...

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3.1　三阶Burgers 方程

...

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3.1.1　引言

众所周知，Burgers 族方程有下面的形式[41，87-93] 将m=1，2，3，4 代入（3.1），可以得到一些方程如下：它们分别是一阶Burgers...

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3.1.2　Painleve 分析

STO 方程是Painleve 可积的[91，94]。考虑下面的截断Painleve 展开形式将（3.7）代入（3.6），可以得到令 ϕ−4的系数等于零...

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3.1.3　势系统和势方程的李点对称

为了得到更多的非局域对称，利用势系统去分析（3.6）。首先，可以写成下面的势系统的形式而且可以得到势方程李点对称由下面的式子给出这里∊是群参数，并且...

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3.1.4　三阶Burgers 方程的线性化

为了将（3.6）线性化，利用文献[95，96]中的定理。首先对于势系统，有下面的无穷小单参数生成元这里 F=（F1，F2）为下面线性系统的任意解从...

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3.1.5　势方程的约化和相似解

这一小节，考虑势方程（3.16）的不变解以及约化。考虑下述情况情况1.X1.对于这种情况，得到不变量是 ξ=t，得到平凡解 v=c1。情况2.X2.对于此种...

《非线性偏微分方程的对称性、不变解及守恒律的研究》简介

前言

Preface

目录

第一章　绪论

1.1　非线性偏微分方程的研究概况

1.2　对称理论

1.2.1　经典李群方法

1.2.2　非经典李群方法

1.2.3　非局域李群方法

1.2.4　待定系数法

1.3　对称和守恒律

1.3.1　Noether 定理

1.3.2　乘子方法

1.3.3　伴随方程方法

1.4　本书选题和主要工作

第二章　变系数（2+1）-维非线性薛定谔方程的对称群及不变解

2.1　引言

2.2　特殊情况：非线性项系数 g（x，y，t）=0.

2.2.1　Lorentz 规范约束

2.2.2　时间规范约束

2.3　李对称分析

2.4　相似变换

2.5　本章小结

第三章　（1+1）-维非线性偏微分方程的非局域对称分析、精确解及守恒律

3.1　三阶Burgers 方程

3.1.1　引言

3.1.2　Painleve 分析

3.1.3　势系统和势方程的李点对称

3.1.4　三阶Burgers 方程的线性化

3.1.5　势方程的约化和相似解

《非线性偏微分方程的对称性、不变解及守恒律的研究》简介

前言

Preface

目录

第一章 绪论

1.1 非线性偏微分方程的研究概况

1.2 对称理论

1.2.1 经典李群方法

1.2.2 非经典李群方法

1.2.3 非局域李群方法

1.2.4 待定系数法

1.3 对称和守恒律

1.3.1 Noether 定理

1.3.2 乘子方法

1.3.3 伴随方程方法

1.4 本书选题和主要工作

第二章 变系数（2+1）-维非线性薛定谔方程的对称群及不变解

2.1 引言

2.2 特殊情况：非线性项系数 g（x，y，t）=0.

2.2.1 Lorentz 规范约束

2.2.2 时间规范约束

2.3 李对称分析

2.4 相似变换

2.5 本章小结

第三章 （1+1）-维非线性偏微分方程的非局域对称分析、精确解及守恒律

3.1 三阶Burgers 方程

3.1.1 引言

3.1.2 Painleve 分析

3.1.3 势系统和势方程的李点对称

3.1.4 三阶Burgers 方程的线性化

3.1.5 势方程的约化和相似解

第一章　绪论

1.1　非线性偏微分方程的研究概况

1.2　对称理论

1.2.1　经典李群方法

1.2.2　非经典李群方法

1.2.3　非局域李群方法

1.2.4　待定系数法

1.3　对称和守恒律

1.3.1　Noether 定理

1.3.2　乘子方法

1.3.3　伴随方程方法

1.4　本书选题和主要工作

第二章　变系数（2+1）-维非线性薛定谔方程的对称群及不变解

2.1　引言

2.2　特殊情况：非线性项系数 g（x，y，t）=0.

2.2.1　Lorentz 规范约束

2.2.2　时间规范约束

2.3　李对称分析

2.4　相似变换

2.5　本章小结

第三章　（1+1）-维非线性偏微分方程的非局域对称分析、精确解及守恒律

3.1　三阶Burgers 方程

3.1.1　引言

3.1.2　Painleve 分析

3.1.3　势系统和势方程的李点对称

3.1.4　三阶Burgers 方程的线性化

3.1.5　势方程的约化和相似解