3.1.2 河流水文特征变化周期性分析
小波分析是在傅里叶 （Fourier）变换的基础上引入了窗口函数，小波变化基于仿射群的不变性（平移和伸缩的不变性），允许把一个时间序列分解为时间和频率的贡献，它对于获取一个复杂时间序列的调整规律，诊断出时间序列变化的内在层次结构，分辨时间序列在不同尺度上的演变特征等是非常有效的[196]。
小波函数可定义为：设φ（t）为一平方可积函数，即φ（t）∈L 2（R），若其傅立叶变换ψ（ω）满足容许条件
则φ（t）称为一个基本小波或小波母函数，将小波函数φ（t）进行伸缩和平移，得到连续小波
对于任意函数f（t）∈L 2（R）的连续小波变换为
式中 a——尺度因子；
τ——平移因子；
Wf（a，τ）——小波系数。(https://www.daowen.com)
在小波变换中，比较常用的小波函数有Mexican Hat小波、Dmey小波、Morlet小波等[197，198]。本研究选用复Morlet小波函数对河流水文时间序列进行连续小波变换，其小波的母函数形式为
它是由一个周期函数经过Gaussian函数平滑而得到的，所以它的伸缩尺度a与Fourier分析中周期T的关系为
式中 c——常数，通常取c=6.2时，周期T可以近似地用a来代替。
通过小波变换得到的是一个尺度——时间函数，若要从该图准确地对一些复杂过程进行解释，需要借助小波方差来进行小波分析检验，从而确定显著周期。小波方差反映了波动的能量随尺度a的分布，可以用来确定一个时间序列中各种尺度扰动的相对强度，对应峰值处的尺度称为该序列的主要时间尺度即主要周期。因此通过小波方差图，可以确定一个一个时间序列中存在的主要周期。小波方差的计算公式为
式中 Wf（a）——小波方差；
Wf（a，b）——小波系数。
对于复Morlet小波函数，则|W f（a，b）|2为小波系数模的平方，小波方差的各个峰值分别对应显著周期。
