【经验分享】

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本文涉及的“反演变换”具有许多的美妙性质，下面我们开始认识一下这种变换.如图7所示，给定圆心为点O，半径为r的⊙O，若点P不与点O重合，则点P关于⊙O的反演点P′在射线OP上，且OP×OP′=r2，⊙O叫做反演圆，点O是反演中心.

图7　反演变换定义

由反演变换的定义不难得到下面显然的结论：

进一步思考我们不难理解下面的几条关于反演变换的性质：

1.不过反演中心的圆其反演图形还是圆.

如图8所示，左侧的小圆的反演图形是右侧的大圆.我们来简单说明一下：图中小圆的直径是线段BC，点O、B、C三点共线，由反演定义知：OR·OR′=OS·OS′=r2，，再由圆幂定理得OB·OC=OS·OR，进而，其中为定值，这意味着每当给定一个点R，总可以以点O为位似中心，以为位似比缩放得到唯一个与之对应的点S′，所以当点R在以线段BC为直径的圆上运动一周时，点S′的轨迹必定为圆.

图8　反演变换性质1(https://www.daowen.com)

2.过反演中心的圆其反演图形是一条直线.

如图9所示，小圆经过反演中心O，其反演图形为右侧的直线.我们来简单解释一下：OD为小圆的直径，所以∠OPD=90°，由反演定义得：OD·OE=r2=OP·OP′，所，又因为∠POD=∠EOP′，所以有△POD≌△EOP′，因此∠OEP′=∠OPD=90°.所以点P′必在过点E且垂直OD的直线上，而这样的直线是唯一的.当点P逐渐逼近点O时，点P′接近垂线的极限，该极限是无穷远处的点.

图9　反演变换性质2

3.不过反演中心的直线其反演图形是过反演中心的圆.这一条性质实质上是性质2的逆命题，根据反演定义不难理解，请读者自己证明.

4.除了以上三条常见性质外，反演变换还有许多其他性质，特别值得一提的是：反演变换的保角性.如图10所示，S是曲线，点A和B在S上，S′、A′和B′是它们各自的反演图形.首先由OA·OA′=OB·OB′=r2以及∠AOB=∠B′OA′，容易证明△AOB∽△B′OA′，进而可证∠OBA=∠OA′B′.现在假设B点是曲线S上的动点，当点B接近点A时会发生什么？直线AB和A'B′接近它们各自曲线的切线，其中一个角接近S和OA之间的交角，而另一个接近其反向角.

图10　反演变换的保角性

反演变换的保角性确保了原本相切的两个几何对象在反演后依然相切，对这条性质的理解要多花些时间细细揣摩.