【制作过程】

1.进入网络画板首页：https：//www.netpad.net.cn，单击“开始作图”按钮，进入作图页面.

2.分析：此题属于周期递归函数，周期为2，递归区间为[0，2]，每递归一次，纵坐标缩半（纵向压缩一半），横坐标加2（向右平移2个单位）.根据刚才的分析，我们用一个变量t来驱动这两种变换（压缩变换和平移变换），选取先压缩后平移的策略进行操作.每当变量t（将t模2运算）在一个周期变化过程中（从0逐渐变化到2），前半段（变量t模2运算的结果从0变化到1）要完成压缩变换，后半段（变量t模2运算的结果从1变化到2）要完成平移变换.

此时，我们只需要对变量t模2运算的结果进行适当的操作即可.

①当t模2运算的结果由0到1变化时，压缩变换开始实施.我们来构造一个周期函数y=min（mod（x，2），1），其图象如图1所示，从图上可以看出：函数值从0逐渐增大到1，然后保持在1上，下一个周期依然如此.

图1　周期函数y=min（mod（x，2），1）的图象

在此基础上，我们可以很容易构造出压缩变换要使用的压缩系数，其计算表达式为0.5^min（mod（t，2），1）.

②当t模2运算的结果由1到2变化时，开始进行平移变换.我们来构造另一个周期函数y=max（mod（x，2）-1，0），其函数图象如图2所示，从图上可以看出：函数值从0保持一会儿，然后逐渐增大到1，下一个周期同样.

图2　周期函数y=max（mod（x，2）-1，0）的图象

在此基础上，我们就可以轻而易举构造出平移变换要使用的平移距离表达式：2*max（mod（t，2）-1，0）.

下面开始进行制作（在系统坐标系下绘制函数图象，并进行仿射变换）.

3.新增变量t.变量t控制压缩变换和平移变换，范围0～8，增量为0.01（如图3），并建立变量t的动画按钮（如图4）.

图3　新增变量t(https://www.daowen.com)

图4　建立变量t的动画按钮

4.绘制周期函数图象.函数表达式为y=0.5^（floor（x/2））*sin（pi*x），定义域为[0，floor（t/2）*2+2]，该函数图象即为原题中的周期递归函数图象（如图5）.

图5　周期递归函数的图象

5.绘制最后一个周期的函数图象.我们从上一步的函数图象上截取一段（一个完整周期图象）重新绘制出来，为下一步的仿射变换作准备，解析式为y=0.5^（floor（x/2））*sin（pi*x），定义域为[2*floor（t/2），2*floor（t/2）+2]，并将图象的线色修改为红色（如图6）.

图6　单个周期图象

6.仿射变换.这一步是该案例最关键的步骤.选中第5步中绘制的函数图象，利用变换工具箱中的“仿射”工具进行操作.在仿射变换对话框中输入：a1=1，b1=0，x0=2*max（mod（t，2）-1，0）；a2=0，b2=0.5^min（mod（t，2），1），y0=0.这样就得到了随t而变化的函数图象（如图7）.

下面对仿射变换对话框中的输入作一简单的说明：x0为水平方向的平移距离，y0为铅锤方向上的平移距离，亦即（x0，y0）为平移变换向量坐标；a1=1，b1=0意味着平移前图象上的点横坐标不变，a2=0，b2=0.5^min（mod（t，2），1）意味着在压缩变换过程中，图象上点的纵坐标逐渐折半.

读者可自行认真体会各个参数的作用，从而对仿射变换公式的强大功能有更多的认识.

图7　对函数图象施行仿射变换

7.隐藏第5步绘制的函数图象，运行动画按钮，观察作品效果，从而深刻理解周期递归函数的原理方法.你也可以将变量尺t删除，不会影响作品效果.