【经验分享】

本案例中，我们使用了仿射变换公式来实现压缩变换和平移变换的组合，事实上也可以使用网络画板强大的轨迹功能、自定义变换、曲线的原地连续压缩再平移等办法，都能实现同等效果（可以参见同期网络画板参赛作品，ID：86315、ID：85487、ID：80993等）.

下面举例说明仿射变换公式的有关知识.

假如选择了一个点E（3，2），仿射变换公式中a1=2，b1=3，x0=4；a2=2，b2=2，y0=3，网络画板就会这样计算仿射变换得到的点的坐标：x=2*3+3*2+4；y=2*3+2*2+3，也就是说新点的坐标是（16，13）.

1.平移变换（平移坐标系）.如图8所示，对1号三角形施行仿射变换，若a1=1，b1=0，x0=3，a2=0，b2=1，y0=2，则1号三角形会水平方向平移3个单位，垂直方向平移2个单位得到2号三角形，由此会发现，事实上是将坐标系进行了平移，两个三角形在新旧坐标系中的相对位置并没有改变.

图8　仿射变换——平移

2.旋转变换（旋转坐标系）.如图9所示，对△ABC施行仿射变换，若a1=cos（t），b1=-sin（t），x0=0，a2=sin（t），b2=cos（t），y0=0，则△ABC将会绕原点O逆时针旋转t弧度，这种旋转实质上就是旋转了坐标系（应用了转轴公式）.

图9　仿射变换——旋转

3.缩放变换（缩放坐标系）.如图10所示，对△ABC施行仿射变换，若a1=t，b1=0，x0=0，a2=0，b2=t，y0=0，则△ABC将会以原点O为缩放中心，t为缩放比进行缩放（横纵坐标均被乘上系数t），此时可以理解为新坐标系是在原来坐标系的基础上缩放而来（单位长度发生了变化），缩放系数为t.(https://www.daowen.com)

图10　仿射变换——缩放

4.轴对称变换（翻转坐标系）.如图11所示，对四边形ABCD施行仿射变换，若a1=-1，b1=0，x0=0，a2=0，b2=1，y0=0，则四边形ABCD将会以y轴为对称轴进行轴对称变换（这也很容易理解：横坐标取相反数、纵坐标不变）.此时，你也可以理解为y轴不动，将x轴反向生成新坐标系，四边形A′B′C′D′在新坐标系中的位置与原四边形ABCD在旧坐标系中的位置相同.

图11　仿射变换——轴对称

5.错切变换.如图12所示，对矩形OBCD施行仿射变换，变量dx=2，dy=0.若a1=1，b1=dx，x0=0，a2=dy，b2=1，y0=0，则矩形OBCD将会被水平方向错切（错位）变换，此时矩形上所有点纵坐标都不变，横坐标与纵坐标2倍的和作为新的横坐标，图形自然沿水平方向向右错位.也可以在dx=0的前提下，不断改变变量dy的值，观察垂直方向错切的情形.

总之，仿射变换就是二维坐标（x，y）到二维坐标（x′，y′）的线性变换，仿射变换保持了二维图形的“平直性”（直线经仿射变换后依然为直线）和“平行性”（直线之间的相对位置关系保持不变，平行线经仿射变换后依然为平行线，且直线上点的位置顺序不会发生变化）.

需要读者注意的是：网络画板中利用仿射变换公式进行变换的大前提是全局坐标系，并非自定义坐标系.若想在自定义坐标系中利用仿射变换公式进行变换，也是有变通方法的，请读者自行摸索.

图12　仿射变换——错切