二、地图投影变形

二、地图投影变形

由于地球椭球面是一个不可展的曲面，将它投影到平面上，必然会产生变形。这种变形表现在形状和大小两方面。从实质上讲，是由长度变形、方向变形(角度)引起的。

1.长度变形

长度变形是长度比与1的差值，即

vu＝μ－1

长度比

μ＝d s′/d s

式中，d s′是投影后微分线段长，d s是固有长度。

2.方向(角度)变形

方向(角度)变形是指实际角度α和投影后角度α′差值，即

α－α′

3.面积变形

面积变形是面积比与1的差值，即

vp＝p－1

面积比(https://www.daowen.com)

p＝d F′/d F

式中，d F′是投影后地球表面上微分面积，d F是其固有面积。

可见，长度变形与面积变形都是一种相对变形，而且，以上两表达式就数学意义而言，它们表示的仅为数量的相对变化。然而，量变可导致质变，从而引起形状的变异，故vμ与vP被赋予“变形”的名称。

显然，vμ＝0即为没有长度变形，而vP＝0则为没有面积变形。亦即投影前后相应的微分线段或微分面积大小保持相等。如变形为负值，则表示投影后长度缩短或面积缩小；反之，变形为正值时，表示投影后长度增加或面积增大。在应用时，vμ与vP也常用百分比数表示。如vμ＝－0.01表示为vμ＝－1%，即投影后该线段缩短百分之一。

在同一投影条件下，不同位置上点的长度、面积和角度变形值不同，为了衡量其点上的变形性质和大小，可以使用变形椭圆和等变形线进行表示。

4.衡量变形的方法

(1)变形椭圆:为了阐明作为投影变形结果各点上产生的角度和面积变形的概念，法国数学家底索(Tissort)采用一种图解方法，即通过变形椭圆来论述和显示投影在各方向上的变形。变形椭圆的意思是，地面上一点处的一个无穷小圆——微分圆(也称单位圆)，在投影后一般成为一个微分椭圆，利用这个微分椭圆能较恰当地、直观地显示变形的特征。如图3-7所示，其中，(a)和(b)没有角度变形，是等角投影；(c)和(d)椭圆面积和微分圆面积相等，是等面积投影；(e)的椭圆短半轴和微分圆的半径相等，是等距离投影；(f)在角度、长度和面积上都存在变形，是任意投影。

图3-7　变形椭圆

(2)等变形线:等变形线是投影中各种变形相等的点的轨迹线。在变形分布较复杂的投影中，难以绘出许多变形椭圆，或列出一系列变形值来描述图幅内不同位置的变形变化状况。于是便计算出一定数量的经纬线交点上的变形值，再利用插值的方法描绘出一定数量的等变形线以显示此种投影变形的分布及变化规律。这是在制图区域较大而且变形分布亦较复杂时经常采用的一种方法。如图3-8表示中国斜轴等面积方位投影方案，其投影中心取φ0＝＋30°，λ0＝105°E，其中同心圆表示的等变形线显示了角度变形的分布情况。

(审图号:GS(2020)4275号)
图3-8　等变形线示意图

(3)数值法:随着数字地图技术的发展，地图投影中变形的计算也可以通过程序计算获得，例如在Matlab中Mapping toolbox中就提供了distortcalc计算某个点的变形值。计算的方法如下:

[areascale，angdef]＝distortcalc(Lat，Long)，计算某经纬度点的面积比和角度变形。