3.1 忆阻器的物理模型介绍
忆阻器是一种非线性器件，在存储、读写、通信、传感器等领域具有广泛的应用前景。忆阻器概念是任教于美国加州大学伯克利分校的蔡少棠(Leon O.Chua)教授在1971年首次提出的，他在研究电荷量q、电流i、电压v和磁通量φ之间的关系时，根据对称论的观点和电磁场特性预测在电阻R、电容C 和电感器L 之外，还存在一种代表电荷q与磁通量φ之间的一个函数关系f(φ，q)=0的电路元件，并定义这个元件为记忆电阻器(简称忆阻器，英文为Memristor)[1]。电流i、电压v、电荷q和磁通量φ所对应的基本电路元件之间的关系如图3.1所示，其中W 为忆阻值，其单位为欧姆。
图3.1 基本电路元件之间的关系
忆阻器具有纳米级大小、极易集成和低功耗特性。利用忆阻器的非线性和记忆特性来替换一般混沌系统中的非线性部分，不仅可以降低混沌电路的能耗，还能减小混沌电路的尺寸[2]～[5]。
忆阻器是一个双端元件，其端口之间的磁通量φ是通过该器件的电荷q的函数，根据这一定义可将忆阻元件分为两种类型，如果由电荷q 决定忆阻值的模型，称为荷控(流控)忆阻器；如果由磁通量φ决定忆阻值的模型，称为磁控(压控)忆阻器。忆阻器和其他电路元件的不同组合，可以得到不同的混沌特性和动力学行为；同时，不同数学模型所描述忆阻器，系统混沌行为也千差万别。忆阻器电路符号如图3.2所示[6][7]。
图3.2 忆阻器的电路符号表示
磁控忆阻器忆阻值由电荷随磁通量的变化率函数W(φ)描述为：
根据
中W(φ)的定义，使用链式法则简化，得到通过忆阻器两端的电压v(t)和电流i(t)之间的关系如下：
因此，忆阻器具有电阻的量纲。而且，由于
中积分运算符的存在，表明忆阻器具有记忆特性。如果W(φ)为一常数，那么此时的忆阻器就是一个电阻。
HP实验室采用现代纳米技术于2008年第一次证实并研发出了一个忆阻器件模型——TiO2线性杂质漂移忆阻模型[1]，其基本模型如图3.3所示。(https://www.daowen.com)
该元件由掺杂部分(doped)和未掺杂部分(undoped)组成，模型中间是二氧化钛材料，两端都连着铂电极。当电流从正极流向负极时，整个模型对电流的阻碍作用变小。其机理可以由式(3.3)描述。
其中，Ron为导通电阻，Roff为关断电阻，D 为忆阻元件的宽度，w 代表元件的掺杂区域的宽度，于是，D-w 为未掺杂区的长度。x 可以理解为掺杂区与未掺杂区在整个元件上的相对位置，因此
表示掺杂区与未掺杂区载流子在分界面处的移动速度。
图3.3 HP实验室忆阻器的边界迁移模型
其中，f(x)为窗函数，其表示如式(3.5)：
上述表述的HP忆阻器的基本模型称为线性杂质漂移模型，其能很好地反映物理忆阻器件的真实特性，但忽略了器件的边界效应，因而并不是严格意义上的忆阻器实物模型[8][9]。
忆阻器所具备的本质特征为[10]：当在两端施加任意双极性周期信号激励时，元件的伏安特性曲线在
i平面上是一条穿过坐标原点的紧磁滞回线，且它的响应是周期响应，如图3.4所示；当激励频率超过临界频率时，激励频率增加，元件的磁滞旁瓣面积呈单调减少趋势，表现为频率依赖性；当激励频率不加以限制的增大过程中，元件的紧磁滞回线将逐渐地收缩为单值函数。
忆阻器加入基础电路元件后丰富了已有的电路结构，完善了电路理论，有利于推动电路设计和电路应用的发展。本节首先从混沌刻画方法入手，为书中混沌现象的判断提供理论依据。然后设计两个磁控忆阻器并给出相应的数学模型，以验证其满足忆阻器的三个本质条件。基于经典三阶Chua电路，利用两个磁控忆阻器构建一个新型五阶忆阻混沌电路，给出其无量纲数学模型。通过相轨图观察混沌吸引子的产生，定性分析忆阻混沌电路平衡点集的不稳定区域分布，并利用Lyapunov指数谱和分岔图分析忆阻混沌电路在忆阻器不同初始状态和依赖电路参数变化的复杂动力学行为。基于Multisim 软件搭建忆阻混沌电路，实现硬件级别的验证。
图3.4 忆阻器的紧磁滞回线
