3.4 蔡氏电路及其混沌动力学特性
蔡氏电路作为混沌振子，具有参数敏感性、遍历性、轨道不稳定性与分岔等混沌动力学特性。基于混沌理论的微弱信号检测方法是根据混沌振子的初值敏感性和对噪声的相对免疫作用，因此，为了更好地将蔡氏电路应用于微弱信号检测，须先研究其复杂的动力学特性。
由上章对蔡氏电路模型的介绍，令
根据式(3.3)及式(3.5)，得到蔡氏电路的无量纲方程为：
选取参数α=10，β=15，m0=-1.2，m1=-0.6，E=1在MATLAB仿真软件中对蔡氏电路混沌振子进行仿真研究，赋予振子两个不同的初值，分别为(x0，y0，z0)=(0.1，0.1，0.1)和(x＇0，y＇0，z＇0)=(0.1，0.1，0.8)，其相图轨迹如图3.13所示。由此可见蔡氏振子具有初始值敏感性，当给定初始状态不同时，系统的运动也会呈现出不同的状态。
图3.13 蔡氏电路初始值敏感性图
(a)初始值(0.1，0.1，0.1)相图；(b)初始值(0.1，0.1，0.8)相图；
(c)不同初始值对应的时序波形图(https://www.daowen.com)
混沌系统的敏感性除了体现在对初始值敏感之外，还体现在对系统参数的敏感性，固定式(3.25)中参数β=15，m0=-1.2，m1=-0.6，E=1，将α作为可变参数，由于电路元件参数的限制，α 的变化范围在[6，11)，如果超出范围，蔡氏电路的运行状态将会趋向于无穷发散。
对式(3.25)求解，当α=7.5时，蔡氏电路的相图为单倍周期轨道，对应的时序图呈现出十分规律的状态，如图3.14(a)、(b)所示；当α=7.8时，蔡氏电路开始呈现复杂动力学特性，此时相图为双倍周期轨道，对应的时序图仍然较为规律但峰值开始出现不一致，如图3.14(c)、(d)所示；当α=8.5时，系统呈现出单周期状态，时序图上峰值的差异增大，如图3.14(e)、(f)所示；当α增大到α=9.0时，系统为混沌特性更强的双螺旋混沌状态，时序图的不规律性更加明显，如图3.14(g)、(h)所示；当α取到11时，系统趋于无穷发散。
图3.14 蔡氏电路α参数敏感性
(a)α=7.5时单倍周期相图；(b)α=7.5时单倍周期时序图；
(c)α=7.8时双倍周期相图；(d)α=7.8时双倍周期时序图；
(e)α=8.5时单螺旋混沌相图；(f)α=8.5时单螺旋混沌时序图；
(g)α=9.0时双螺旋混沌相图；(h)α=9.0时双螺旋混沌时序图；
(i)α=11.0时无穷发散相图；(j)α=11.0时无穷发散时序图
从图3.14中蔡氏电路随系统参数α的增长所呈现的相图与时序图的变化可以看出，蔡氏电路混沌系统具有对系统参数和初始值的敏感性以及遍历性，因此，可以将待测信号加入到蔡氏电路，作为对参数的扰动，并根据相图和时序图的变化来判断微弱信号的存在。
