4.6.3 解调原理描述
图4.35是用光谱仪采集到的参考通道和光栅通道的光谱图。图中上面的波形为光栅通道的光谱，下面的波形为参考通道光谱图，其中光栅通道中第一个峰是参考光栅的光谱，右边四个为待测光栅的光谱。
图4.35 参考通道和光栅通道光谱图
在图4.33中，首先对信号进行处理，获得峰值点的序号及位置，对于FBG信号，其峰值点可表示为{FBG1，FBG2，…，FBGN}，其中N 表示光栅通道中光纤光栅的数目，FBG1表示参考光栅的位置信息并且参考光栅的波长是已知的，记为λ0。参考通道中的峰值点信息记为{c1，c2，…，cM}，其中M 表示参考通道中峰值点个数。通过对比分析两个通道的峰值点位置，假设参考光栅位于F-P标准具的某两个峰ck和ck+1之间，这两个峰的波长记为λk和λk+1。由于F-P标准具的峰值点波长是未知的，所以需要利用参考光栅对F-P标准具进行校准。在F-P标准具的光谱波形中，每个峰值点之间可近似看作波长随采样点线性变化，由此可得：
F-P标准具中的每两个峰之间间隔一个自由光谱范围，对标准具可用频率间隔来表示自由光谱范围，即：
频率f 与波长λ 之间满足
，其中C 为光速。联立式(4.6)、式(4.7)可得F-P标准具中序号为k 的峰值点波长λk。再根据式(4.7)的关系，可得F-P标准具任意一个峰值点波长
对光栅通道中待测光栅FBGi，波长记为λFBGi，假设它的位置位于F-P标准具中cl和cl+1、波长为λl和λl+1的两个峰值之间，同样根据波长近似线性变化的关系可得：
从式(4.8)、式(4.9)即可得到待测光栅的波长。
这一节重点对高速光纤光栅解调系统检测软件部分进行详细设计。本节从解调软件系统的需求分析、整体设计、数据接收与解码、FBG 波长计算、平滑滤波算法、FBG寻峰算法、振动信号重构、FBG传感信号标定和数据存储、界面软件设计等几个方面进行设计。
(1)FBG波长计算
FBG光谱波形如图4.36所示，图中横轴为光波波长，单位为纳米，纵轴为幅值，波峰峰值对应的横轴位置为该FBG波长值，上半部分是束状滤波器的光波信息图，下半部分为参考光栅1、2以及传感光栅的光波信息图。
图4.36 参考光栅和传感光栅波长示意图
图4.37 波长标定计算示意图
图4.37中Peak0[]、Peak1[]用来存放参考通道和传感通道的各峰的横坐标，λref1、λref2、λFBG分别代表参考波长1、参考波长2和传感波长，其中参考波长1和参考波长2已知，传感波长为待测波长。
变压器振动检测系统中，解调过程中的FBG光波波长的计算主要基于三个重要参数：FBG光波的波峰值、参考通道光波峰值、参考通道实际光波波长值。FBG 峰值和参考通道峰值通过对采样信号进行分析，通过三点寻峰算法计算得出，参考通道实际光波波长值是所用梳状滤波器和单峰滤波器的已知峰值信息，可由器件厂商提供或者通过标准光谱仪测定得到。波长计算流程如图4.38所示。
首先寻找Peak0[]的位置和波峰值，通过单峰滤波器峰值和单峰实际波长值标记所有梳状滤波器峰值的实际波长值，可调谐F-P腔驱动信号的直流偏置直接影响梳状滤波器的峰值位置和个数，通过单峰滤波器的峰值与梳状滤波器峰值的相对位置和大小，便可标记所有采集到的梳状滤波器峰值计数。
图4.38 波长计算简易流程图
然后通过计算获得λm的值：
其次计算获得λm+n和λm+n+1的值：
最后通过梳状滤波器峰值和波长值以及FBG峰值计算得到对应FBG的波长值：对每一个FBG，寻找位于FBG峰值最近两个的梳状滤波器峰值，并根据对应的实际波长值计算出这个FBG波长值。计算公式为：
这种方法本质是分段线性函数，简单方便、计算快速。但是在梳状滤波器线性度不好的情况下，会出现FBG计算波长的线性误差，特别是在函数转折点处。本系统宽带光谱范围为50nm，采样频率为4k Hz，系统时钟频率为400Hz，釆样数据使用半周期(上升沿)数据，所以FBG计算波长误差为1pm。
(2)平滑滤波算法
处理器获得的光强数据在经光电探测器采集、后续放大处理、A/D转换时会随着电路引入噪声信号。如图4.39所示给出了对F-P标准具采样后的一段数据图谱，从图中可以看出，数据中含有较大噪声，峰值点无法直接通过查找极值点的方法得到，因此需要一个有效的平滑滤波算法，先滤除信号中含有的噪声信号。
图4.39 光电探测器采集到的F-P标准具信号图谱(https://www.daowen.com)
对采样信号进行平滑滤波，目的就是利用数字信号处理的方法对信号进行数学运算，降低信号中的噪声分量。在计算干涉峰及FBG峰波长时主要依据就是峰值点的位置信息，而与峰值点强度无关。因此选择平滑滤波算法的要求是滤波前后峰值信号的相位须保持不变，也就是说，滤波过程需要保持峰值点的位置不变。
假设经光电探测器采集到的原始采样信号为Y=[y1，y2，…，yN]，选择的平滑滤波器系数为S=[s1，s2，…，sm]，滤波后的信号为
，那么滤波过程可表示为：
为保证滤波后的峰值信号相位不变，需要选择系数是以0为中心、对称分布的零相位系统滤波器，由数字信号处理知识可知，零相位系统不会改变输入信号相位，即对输入信号的峰值位置没有影响。很多滤波器都可对信号进行平滑滤波，本系统选择的是Savitzky、Golay于1964年提出的Savitzky-Golay平滑滤波器，该滤波器利用局域多项式最小二乘法将拟合误差减小到最优，并且可选择不同点数的滤波器，滤波器系数可通过查找系数表得到，如表4.4所示。
表4.4 Savitzky-Golay平滑滤波器卷积系数表
在实际使用时可以选择不同点数的Savitzky-Golay平滑滤波器，如图4.40所示是使用不同点数对原始信号(图4.39)进行滤波后的波形。
图4.40 不同点数的滤波效果
(a)7点；(b)9点；(c)11点；(d)13点
从图4.40可以看出，相比于图4.39的原始信号，平滑滤波后信号波形的噪声明显减小，波形变得更为平滑，并且从图4.40中(a)～(d)波形的变化可以看出，随着滤波点数的增加，平滑效果越好。但是点数的增加也会增加平滑滤波的计算量，因此，在可以得到较好的滤波效果时需要选择合适的点数。图4.40(d)相比于图4.40(c)滤波效果有所提升，但是效果不明显，并且图4.40(c)中波形的噪声相比于原始信号已经有了明显改善，可以直接进行后续的寻峰计算。在平衡滤波效果和计算量后，本系统选择11点的Savitzky-Golay平滑滤波器对信号进行平滑滤波。
(3)寻峰算法
在进行平滑滤波后，信号的噪声水平已经较低，并且原始信号中待测光栅的谱型得到了较好的保留，可以通过寻峰算法对滤波后的数据进行分析，得到待测光栅的峰值点位置。较常用的对光纤光栅反射谱进行峰值提取的算法主要有质心法、导数法、多项式拟合法、高斯拟合法等。
1)质心法
质心法的核心思想类似于物理学中质量块质心的计算方法，对于一个空间质量块来说，其质心的求解方法是：将质量块看作是无数个质点组成的集合，将这些质点的质量乘以其空间坐标并进行空间积分，然后除以所有质点的质量之和即可得到质心坐标。质心法寻峰借鉴这种思想，只是把空间的连续量变成采样中的离散点，首先可通过阈值查找获得峰的区间，然后在此区间内将光电探测器采样的幅值乘以采样点序号，除以此区间内所有采样点的幅值之和，得到的值即为峰值点位置。对于采样点为Y=[y1，y2，…，yN]的信号，各点采样序号为P=[p1，p2，…，pN]，通过质心法求得的峰值点位置可表示为：
2)导数法
导数法的思想是连续函数的极值点定理，即一个函数的极值点处的一阶导数为0，二阶导数为负数。对于采样得到的离散数据点，先对数据进行差分，为了进一步消除原始数据中的噪声，在对差分数据进行再次滤波后，再进行差分得到二阶差分的信号，然后通过查找一阶差分数据中为零并且二阶差分中为负的点即为峰值点位置。
3)多项式拟合法
多项式拟合法假定反射峰(或透射峰)的波形符合某一阶的多项式函数，记为：
通过最小二乘法拟合得到函数中各系数的值，然后直接求解函数的一阶导数值为0、二阶导数值为负的点即可得到峰值点位置。根据反射峰的特性，常用的是二阶多项式，通过拟合得到a1、a2的值，峰值点的位置p 即为：
4)高斯拟合法
高斯拟合法的思想与多项式拟合一致，也是假定峰值波形符合高斯函数形式，即：
对高斯函数两边同时求导数可得：
对原始信号求对数，然后进行二阶多项式拟合即可得到各个参数的值，峰值点位置为：
这四种寻峰方法在实际解调系统中都有所应用，需要根据待测峰值特性进行选择。本系统根据待测峰值特点，对这四种方法进行对比，给定波长为1530.128nm 的峰值信号，在信号中加幅值为峰值信号1/10的随机噪声，如图4.41所示。
图4.41 仿真的待测峰光谱
仿真结果如图4.42所示，从图中可以看出对于给定的待测峰，质心法和高斯法得出的峰值波长误差较小，方差也很小，说明这两种方法寻峰得到的结果较稳定。但是高斯拟合法相比于质心法需要进行大量的数据运算，不适宜应用于实时性要求较高的系统。因此，本系统选择质心法对解调系统的传感器峰值进行寻峰处理。
图4.42 四种寻峰算法的仿真结果图
(a)四种方法计算得到的波长值；(b)四种方法的计算误差；(c)四种方法的计算方程
