5.2.1　Alpha稳态分布的概念

Alpha稳态分布又称非高斯稳态分布，是一种广义的高斯分布，其特征指数α∈（0，2］，且当α＝2时表征高斯分布，当α∈（0，2）时表征非高斯分布。Alpha稳态分布的概念最初由法国数学家Levy［285］于1925年在研究广义中心极限定理时提出，但是这个概念在当时并没有引起重视，主要受两个因素的限制［286］：其一，除了高斯分布、柯西（Cauchy）分布和皮尔逊（Pearson）分布等少数几种特例外，Alpha稳态分布的概率密度函数和分布函数均没有显式表达式，虽然可以用幂级数等其他方法进行逼近，但受限于当时的计算能力；其二，由于Alpha稳态分布过程的p阶矩仅当p＜α时存在，因此所有非高斯Alpha稳态分布过程均没有有限的二阶矩，当α≤1时甚至没有有限的一阶矩。二阶矩在信号处理和估计理论中起着重要作用，因为其通常与功率的概念密切相关，无限的二阶矩意味着无限的功率，这些限制导致了其应用的局限性。直到20世纪90年代，美国南加州大学著名非高斯信号处理专家Nikias教授的团队进行了许多开创性工作［287-290］，才使得Alpha稳态分布的应用得到巨大拓展。

稳态分布的概念与概率论的大数定律及中心极限定理有着密切联系，大数定律描述随机变量序列的稳定性，而中心极限定理则描述分布函数的稳定性，Alpha稳态分布是唯一满足广义中心极限定理的分布［291］，即包含无限方差的无穷多个独立同分布随机变量的极限分布是一种稳态分布。事实上，很多不满足经典中心极限定理的数据都可以用稳态分布来描述，因此Alpha稳态分布具有普适性。

Alpha稳态分布是低阶统计量理论的有效应用，是对二阶统计量理论和高阶统计量理论的扩充，它完善了统计信号处理理论，使其成为一套完整的体系。关于低阶统计量理论、二阶统计量理论和高阶统计量理论的关系如图5.1所示。传统用来描述高斯过程的理论为二阶统计量理论，描述非高斯过程的理论为高阶统计量理论。在二阶统计量理论中，一阶统计量（期望）和二阶统计量（方差、相关函数、协方差等）是描述高斯过程的主要参数，基于二阶矩理论的滤波、预测、估计等方面的成果非常丰富，并且在很多情况下是有效的。但是，基于二阶统计量的方法往往受到对信号和噪声假设的限制，如信号和噪声服从高斯分布、系统满足线性和最小相位特性等。高阶统计量（特别是三阶和四阶累积量）是非高斯信号处理的重要工具，但是有其局限性，主要在三方面：其一，仅当非高斯信号的高阶矩统计量存在时，高阶统计量才能有效应用；其二，缺少有效的鲁棒算法从含噪信号中估计出高阶统计量；其三，基于高阶统计量的算法复杂度非常大。因此，分数低阶矩统计量的引入以及Alpha稳态分布的出现是科学发展的必然［286］。分数低阶统计量是二阶统计量的广义化，并且可以用于Alpha稳态分布（包括高斯分布和非高斯分布）随机信号的分析与处理，因此所有基于高斯假定和二阶统计量的信号处理算法都可以广义化为更广泛适用于基于低阶统计量的新算法，这种广义化也是本章后续构建估计子的理论支持与基础。(https://www.daowen.com)

图5.1　随机信号统计量分布示意图