5.2.2 Alpha稳态分布的数学形式
Alpha稳态分布在数学形式上没有统一的概率密度函数的闭式解，但是Stuck等［292］于1978年利用特征函数对Alpha稳态分布做了有效描述，其特征函数可以表示为
式中，
可见，Alpha稳态分布的特征函数由α、μ、β和η四个参数唯一确定。其中，α称为特征指数，用来度量分布函数尾部的厚度，描述稳态分布噪声的脉冲程度。α越小，表示脉冲特性越强，其对应分布的尾部越厚；α越大，表示脉冲特性越弱，其对应分布的尾部越轻；α＝2时，特化为高斯分布（对任意β）。μ为位置参数，对应于稳态分布的均值或中值。η为比例参数，又称分散系数，它与高斯分布的方差类似，描述的是偏离位置参数μ的程度。β为对称参数，当β＝0时，稳态分布是关于μ对称的，此时的分布也被称为对称Alpha稳态分布（symmetry alpha stable，SαS）。当α＝2，β＝0时，Alpha稳态分布对应于高斯分布，此时η＝σ2／2；当α＝1，β＝0时，对应于柯西分布；当α＝1／2，β＝-1时，对应于皮尔森分布。以上三种分布是Alpha稳态分布的特例，只有它们存在显式的概率密度函数表达式。
如果Alpha稳态分布中的位置参数μ＝0，分散系数η＝1，则称此Alpha稳态分布为标准Alpha稳态分布。如果一个Alpha稳态分布X具有任意的位置参数μ、分散系数η、特征指数α和对称系数β，则
是一个特征指数为α、对称系数为β的标准稳态分布。也就是说，任意的对称Alpha稳态分布都可以通过式（5.4）进行标准化。
对Alpha稳态分布的特征函数做傅里叶逆变换，就得到了Alpha稳态的概率密度表达式：
从式（5.5）可知，f（x；α，β）＝f（-x；α，-β），其积分形式没有统一的表达式，但是存在特例。例如，高斯特例α＝2和β＝0，式（5.5）的积分结果为(https://www.daowen.com)
又如，柯西特例α＝1和β＝0，式（5.5）的积分结果为
此外，还有皮尔森特例α＝1／2和β＝-1。
除了上述三个特例外，Alpha稳态分布虽然没有闭式解，但是可以通过数值计算的方式（β＝0，η＝1，μ＝0）得到概率密度函数的数值解，如图5.2和图5.3所示。
图5.2 Alpha稳态分布的概率密度函数全局形状（书后附彩插）
图5.3 Alpha稳态分布的概率密度函数局部放大曲线（书后附彩插）
图5.2和图5.3给出了不同特征指数α下的标准SαS分布概率密度曲线。SαS分布保留了许多高斯分布的特征：光滑；单峰分布；关于中值对称；形状呈钟形。与高斯分布不同的是，SαS分布的概率密度函数有着更厚的尾部，这个性质使得分数低阶SαS分布可以较理想地描述某些具有尖峰和脉冲的信号。基于上述分数低阶SαS分布的一系列良好特征和稳定特性，本书选取SαS分布作为非高斯脉冲的表征。
值得注意的是，当α＜2时，Alpha稳态分布随机变量不具有有限的二阶矩，这导致噪声的方差定义变得没有意义。为了能够定量地衡量非高斯脉冲噪声与原信号之间能量大小的关系，定义混合信噪比（mixture signal to noise ratio，MSNR）［293］如下：
式中，
为原始信号的方差；η为SαS分布的分散系数。
