2.2 线性规划问题的图解法
1.图解法
一般来说，图解法仅适合二变量情况。
【例2.2】
先用两个非负约束条件，将可行域确定为第一象限。再用两个不等式约束条件将可行域确定为图中阴影部分区域（图2.1）。最后用Z=10x1+5x2取不同Z 值，做出一系列平行线，尝试向右上方移动时，目标函数值增大。当移动到区域边界B 点上，此时Z 值最大。最优解为：x1=16，x2=0，max Z=160。
图2.1 线性规划图解法求解（1）
【例2.3】
解法类似上题（图2.2），最优解x1=20，x2=20，max Z=200，在两直线交叉点达到。
[例2.3]中，如果将目标函数改成与某一直线斜率相同，比如max Z=6x1+9x2，则最优解位于阴影部分边界2x1+3x2=100所在直线上，有无穷组解。
图2.2 线性规划图解法求解（2）
2.线性规划解的几种情况
【例2.4】
有唯一最优解：x1=1，x2=0，min Z=5。(https://www.daowen.com)
图解过程如图2.3所示。
图2.3 线性规划图解法求解（3）
【例2.5】[例2.3]中目标函数改为min Z=5x1+5x2，其余不变，无穷多组解，最优解min Z=5。
【例2.6】[例2.3]中目标函数改为max Z=5x1+7x2，其余不变，无解（无有界最优解）。
【例2.7】
无可行域，无解。
通过上面例题，可以归纳出线性规划解的几种情况：
（1）无可行域。无解。
（2）有可行域。无界：①无解；②无穷组解；③唯一解。有界：①无穷组解；②唯一解。
3.结论
将以上问题引申到多个变量的线性规划问题，可有以下结论：
（1）线性规划问题的可行解集为一凸集（如矩形、凸四面体等），也称可行域。
（2）线性规划的每个基本可行解对应于可行域一个顶点。
（3）线性规划最优解如果存在，一定在可行域的一个顶点上达到，如果在两个顶点达到，则一定有无穷组解。
