2.1 线性规划问题的一般形式及标准式
线性规划（linear programming，LP）是运筹学优化理论一个重要分支。线性规划是研究具有线性关系的多变量目标函数在变量满足一定线性约束条件下，如何求函数的极值（最大或最小）问题。线性规划问题最早是由苏联学者康托洛维奇（Л.B.Канторович）于1939年提出，但当时极少被人注意。后来美国空军的SCOOP（最优科学计算，scientlfic computation of optimum programs）小组在研究战时稀缺资源最优化问题时再次被提出。自1947 年丹捷格（G.B.Dantzig）提出线性规划求解方法——单纯性法（simplex method）后，线性规划在理论上趋于成熟，在实用中日益广泛与深入。特别是计算机工具引入后，可处理成千上万的约束问题。目前，线性规划在工业、农业、地质、交通运输、经济等各领域发挥了重要作用[《运筹学》教材编写组（钱颂迪等），2013；马建华，2014]。
1.一般形式
目标函数：
约束条件：
式中 Z——目标函数；
m——约束方程个数；
n——决策变量个数，一般m≤n；
aij——决策矩阵系数；
cj——价值系数；
bi——常数项。
用矩阵表示则为
其中
对矩阵Cmn=Ams×Bsn，条件为A 列等于B 行，结果C 为A 的行数B 的列数。
2.标准式
传统的线性规划求解，一般是先把一般线性规划形式转化为标准式再求解，标准式形式为
3.标准化方法
（1）≤约束条件：左侧加上一非负的松弛变量。加入松弛变量后，目标函数中相应的价值系数取0。
（2）≥约束条件：左侧减去一非负的松弛变量（又称剩余变量）。
（3）bi＜0：两端乘以-1，然后不等号改变方向后，再按以上处理。
（4）xj为自由变量（取值可正可负），引入两个非负变量即可。
（5）有界限变量cj≤xj≤dj。(https://www.daowen.com)
如2≤x2≤6，可以这样处理：
对x＇2≤4按前面（1）或（2）再进一步化为等式约束。
（6）绝对值情况。
如|2x1-x2|≥8，这种情况可以分解为两个式子：
出现（3）～（6）情况时要优先处理，最后再处理（1）、（2）情况。处理完约束条件后，最后再处理目标函数问题。
（7）目标函数极小。
这时要利用等式关系
即先求出Z＇的极大值，其结果的负值就是原问题的最小值。
【例2.1】将下列问题标准化：
解：一般先处理（3）～（6）情况，本例有自由变量x3。
（1）设x3=x4-x5 x4、x5≥0
则原方程变化为
（2）加入松弛变量x6、x7。
（3）化目标函数为极大。
设Z＇=-Z
本题解为
原问题最优值为-17.4。
