4.1.2 多目标规划模型与特点
1.一般描述
式中 xj——决策变量，j=1，2，…，n；
Z（x）——p 个独立的目标函数组成的目标函数向量；
gi（x）——约束条件组；
bi——常数项。
2.多目标模型特点
（1）多目标性。
（2）各个目标一般量纲不同，不可公度。如开采量最大、降深最小等。
（3）各个目标可能是相互矛盾的。
（4）多目标的解不是唯一最优的，这些解的集合称非劣解集（多目标规划的解之间无法确定优劣，但没有比它们更好的其他方案，所以它们就被称之为多目标规划问题的非劣解或有效解，其余方案都称为劣解。所有非劣解构成的集合称为非劣解集）。
（5）多目标规划可以充分发挥规划者和决策者的作用，二者的适当权衡得到最佳权衡解。
3.多目标决策求解方法
多目标规划问题的求解方法可分为直接法和间接法（林锉云等，1992）。直接法目前仅有几种特殊情况下可求解。多数求解要采用间接法。间接法常需要将多目标规划问题转化为单目标规划问题去处理。实现这种转化，有如下方法。
（1）转化为一个目标函数求解。这类方法有权重法、约束法等。
（2）转化为多个单目标问题求解。按照一定的方法将多目标转化为有序的多个单目标问题，然后依次求解这些单目标规划问题，将最后一个单目标问题的最优解作为多目标问题的最优解。这类方法有分层序列法、重点目标法、分组序列法、可行方向法、交互规划法等。
（3）目标规划法。对于每一个目标都定了一定目标值，要求在约束条件下目标尽可能逼近给定的目标值。常用的方法有目标点法、最小偏差法、分层目标规划法等。
下面介绍几种常用的方法：
（1）权重法：按在多目标中的重要程度，赋予适当的权重，将目标向量问题转化为单目标函数。权重反映了决策者对各目标的倾向性意见。可根据专家意见、经验等确定。层次分析法是确定权重一比较好的方法（后面介绍）。
（2）约束法：按重要程度，每次优化一个目标函数，而限定其他的目标函数在合理范围内（化为约束条件），逐步求出所有的解。
若规划问题的某一目标可以给出一个可供选择的范围，则该目标就可以作为约束条件而被排除出目标组，进入约束条件组中。假如，除第一个目标外，其余目标都可以提出一个可供选择的范围，则该多目标规划问题就可以转化为单目标规划问题。按重要程度顺序进行。求：
式中 Zj（x）——选定的基本目标；
Zk（x）——其余目标；
Lk——事先设定的第k 个目标的下限值。
上述构成单目标规划问题可求解。变化参数Lk，重复求解就可以生成非劣解集，直到Lk增大至不能满足原问题的约束条件为止。(https://www.daowen.com)
4.最佳权衡解确定方法
（1）规划者事先与决策者商量好某种原则，然后由规划者按此原则去确定。
（2）通过编制效果矩阵，然后根据规划意图、决策者愿望等去比较选择一组，见表4.1。这种比较往往是互相妥协、折中的过程。
表4.1 多目标规划效果矩阵表
多目标规划问题建模、求解、最佳解（非劣解）的确定过程，可用图4.1 过程来描述。
5.二变量多目标规划解
对二变量目标问题，可绘制无差别曲线（等效用曲线），通过曲线权衡选择。如水利工程中的发电和灌溉两个目标，等效果数据见表4.2及如图4.2曲线所示。
表4.2 发电与灌溉等效果数据表
可以根据实际数据画出多条无差别曲线（这里根据数据仅仅画了一条。如果有更大的投资，则能画出另外多条曲线）。然后将目标函数曲线画上去，与无差别曲线相切的点就是最佳权衡解。
【例4.1】门宝辉等根据淮河流域南四湖供水问题，以系统总缺水量（最小）Z1、系统总效益（最大）Z2为相应目标函数，加上供水能力、需水量（农业、工业、生活、生态环境）约束条件，建立了南四湖供水问题的两个目标的优化管理模型（门宝辉等，2018）。设优化用水量为x，简化的二目标函数优化模型如下：
图4.1 多目标规划问题建模、求解、确定最佳解（非劣解）的过程
图4.2 发电与灌溉无差别曲线
目标函数：
供水系统缺水量最少：Z1=min z（x）
供水系统效益最大：Z2=max z（x）
供水能力约束：∑x≤W
需水量约束：L≤∑x≤H
式中 W——水源供水能力；
L、H——用户需水的下限、上限。
对上述多目标管理问题，先采用加权法转化为单目标函数（min Z=α1Z1-α2Z2，α1+α2=1），然后用LINGO 软件求解，计算结果见门宝辉等。
上述转化为单目标规划求解过程中，加权法的系数很主要，这取决于经验和管理者的喜好。两个目标函数，一个是水量，一个是效益，不同的物理量合并到一个目标函数中，这个权重的确不好给，可能需要反复调试试算的。本题中权重取值α1=0.8333，α2=0.1667。
还应注意到，采用权重法转化为一个目标函数时，目标函数Z2前是负号。
