3.3　静力隐式算法

3.3　静力隐式算法

ABAQUS中的有限元模型通常为非线性问题，并且涉及几个至数千个不等的变量。根据这些变量，通过离散虚功方程得到的平衡方程［155］用下式表示：

其中，FN是与Nth变量共轭的分力，uM是与Mth相关变量的值。求解方程（3.7）的根本问题是求解uM。通常ABAQUS/Standard使用牛顿法求解非线性方程组，其主要原因是牛顿法与变化法（修正牛顿法或拟牛顿法）相比具有收敛速度优势。牛顿法的基本形式如式（3.8）所示。假设在第i次迭代之后求解得到，假设使用牛顿法的求解结果与式（3.7）的真实解之间的误差为，则

将方程左边关于进行Taylor级数展开，则

如果接近真实解，则的值将会很小，因此除去式（3.9）中的可以忽略的前两项可以得到一个线性方程组：

其中，是雅可比矩阵：

第i+1次迭代的近似解如式（3.13）所示，并且迭代继续进行：

(https://www.daowen.com)

牛顿法收敛性的最好测量方式是确保F和c都足够的小，这两种测量方式通过ABAQUS/Standard求解器中的默认算法进行检测。同时ABAQUS/Standard会输出每次迭代的残余力、增量位移及增量位移的修正量，以确保用户可以检查这些临时量。

通常牛顿法应避免出现在大型有限元模型中，其原因主要有两个：①完整雅可比矩阵有时是很难用公式表示；对于有些不能得到闭型雅可比矩阵的问题必须通过数值计算，求解过程较为费时，并且不能保证所有求解结果的可靠性；②由于必须对每一次迭代的雅可比矩阵进行构造和求解，因此求解过程费时。最常用牛顿法的替代算法是修正牛顿法，在求解过程中仅对式（3.10）中的雅可比矩阵进行不定期的重计算。这种方法对处理中等非线性问题包括软化行为（如包含单调应变强化的塑性变形），极具吸引力，但是不适用于特别复杂的非线性问题。

牛顿法的另一种替代算法是拟牛顿法［155］，将式（3.10）表示为

此时雅可比矩阵的逆矩阵可以通过迭代过程获得。

拟牛顿法有很多种。ABAQUS/Standard提供“BFGS”拟牛顿算法。拟牛顿法的基础是为雅可比矩阵提供一系列的改进的近似值，满足割线条件［155］：

以便在迭代过程中使iNM逼近K。为方便起见，我们定义迭代之间的残差变化γ：

将式（3.16）带入式（3.15）得

其中，是前一次迭代结果的修正。