年轻的玻尔和氢原子

年轻的玻尔和氢原子

1885年10月7日，尼尔斯·玻尔（图7.1）出生在哥本哈根。他是著名心理学家克里斯琴·玻尔和妻子埃伦·艾德勒的儿子。埃伦是一位富裕的犹太银行家的女儿。这个家庭为尼尔斯和他的弟弟哈拉尔德提供了正规高等教育和文化教育的一切有利条件。哈拉尔德后成了一位著名的数学家。这两个孩子从小都受到他们的母亲和姨妈的溺爱。玻尔的家庭在丹麦属于中上阶层。在这样的一个天地里，他们接近了那个时期各种知识界名流，特别是同一些哲学家和医务界人士保持着密切的联系。尼尔斯尽管在小时候就准确画出了一些引人注目的绘画，但没有任何证据能说明他是一名神童。如果我没有理解错的话，玻尔曾经同我讲起过在学习写作过程中所经历的困难。

玻尔和他的弟弟年轻时曾经都是著名的运动员。他们踢足球几乎可达到职业运动员的水平，我记得，当玻尔愉快地欢度他六十岁生日时，还灵巧地在洛斯阿拉莫斯附近的山坡上滑雪哩！上中学的时候，兄弟两人已开始超出他们的同班同学，到1904年，当尼尔斯19岁、哈拉尔德17岁的时候，一位同窗学友已经称他们为天才了。

尼尔斯还在小学读书的时候，他父亲首先就唤起了他对物理学的兴趣。当尼尔斯必须在哥本哈根大学选择专业时，他选定了物理学，并在C.克里斯琴森（C.Christiansen）教授的指导下学习。为了参加1905年丹麦科学院举办的一次竞赛，他在液体喷射和表面张力方面进行了努力。他由于理论和实验研究而获奖，而实验是在他父亲的实验室里做的。不久，他就日益专心于理论研究。他写过一篇关于金属电子理论的博士论文，事隔不久，到1911年，他到了卡文迪许实验室，在J.J.汤姆逊指导下进行工作。汤姆逊很有礼貌地收留了他，听取了他的工作说明，但不可能抽出时间看他的论文。鉴于汤姆逊本人的工作日程，以及他必须指导的学生的数目，这一点并不太令人感到奇怪。玻尔在剑桥大学见过卢瑟福，对卢瑟福有如此深刻的印象，以致在1911年11月，玻尔到曼彻斯特大学去上由卢瑟福实验室承担的放射性测量的实验课。在等待放射源的同时，他首先对曼彻斯特大学的热门科目——α粒子通过物质进行了研究。玻尔取得了一些有意义的结果，而且，这始终是他一生最喜爱的科目之一。但是没过多少日子，他又转到了更为重要的一个学科领域，这同样与卢瑟福所做的事情密切相关。

正如我们已经知道的那样，卢瑟福创建的一种原子模型可以解释α粒子通过物质时偶而所经受的很大偏折。为了说明这种现象，卢瑟福考虑了“土星状”的原子模型，用更为现代的语言来讲，就是研究了原子的核式结构模型。玻尔不顾这个模型由于力和电之不稳定性出现的困难，很认真地看待这个模型。这种已由卢瑟福指出了的困难具有一些有趣的特性。人们已了解或者作过假定，一种物质的所有原子都是相同的，但在这个模型中却没有任何东西可使人确信这种等同性，特别是没有任何东西能供决定原子的半径。因此，要想使这个模型得以存在，就必须找到一种根本性的补救办法，以便既给出稳定性，又能求出原子的半径。电子的电荷和质量应是作任何一种计算的主要常数，那么，能求出长度的另一个普适常数（与物质无关）该是什么呢？

对于熟悉1911年“现代”概念的人，这一问题是不太难以解决的。作用量子，即普朗克常数必须充当一个角色。这里有几种可能性。奥地利物理学家A.哈斯（A.Haas）已经提出了原子大小是基本常数，以及根据这个基本常数得出作用量子的观点。英国天文学家J.W.尼科尔森（J.W.Nicholson）亦试图把h引入各种原子模型，丹麦化学家则力图把h引进种种分子模型。但是，这些尝试始终是含糊不清的，或者已经走错了方向。

玻尔深思了这些问题和设想，并在1912年6月19日致他弟弟的一封信中提及过此事。6月和7月，他拟就了准备同卢瑟福讨论这一问题的备忘录。他对这一模型有着十分明显的兴趣，但没有对氢光谱作过研究。光谱成了未来多数问题的一个关键，而人们又认为这一学科太复杂，似乎是那个时期难以对付的领域。1913年初，一位学生朋友汉斯·马里耶斯·汉森曾问过玻尔，他的模型计划对光谱要作什么样的解释。当玻尔说对这一问题他什么也说不上时，汉森劝他去看一看巴耳末公式。许多年之后，玻尔这样说过：“一当我看到巴耳末公式，一切都豁然开朗了。”

那么，巴耳末公式到底是什么呢？当时，瑞士有一名叫约翰·雅各布·巴耳末（Johann Jakob Balmer，1825～1898）的中学教师，颇有几分算命先生的才能，他于1885年就注意到了氢光谱线的频率具有惊人的规律性。这些频率是通过公式：

求出的。式中n1和n2是正整数，且n1＜n2（这里我用了比巴耳末更为现代的记号，他是用波长代替频率的）。这个公式是任何氢原子理论的试金石，氢的线光谱以很大的精确度遵循了这一公式。在巴耳末时代，人们已经知道了n1=2的可见光谱系，这正是他发现规律性的一个谱线系（图7.2）。后来，T.赖曼发现了n1=1的紫外线系，接着又发现了n1=3（帕邢系）和n1=4（布喇开系）的红外线系。图7.3和图7.4用图解的方式说明了这些规律性。常数R确定了图的座标标度。R叫做里德伯常数，以纪念瑞典的光谱学家里德伯。

受与距离平方成反比的力吸引至固定中心的一质点的轨道犹如行星一样，是固定中心位于一个焦点的椭圆，为简便起见，我们将只考虑固定中心在轨道中心的圆形轨道这种特殊情况。对于这样的一个体系，任意半径都是可能的，只要质点在轨道上的速度大小使离心力刚好与中心的吸引力相平衡。要是半径和速度满足关系式：

此种情况就会发生。因此，倘若我们选取一个适当的速度，任一半径都是可以允许的；为了确定半径，我们就得引入某些其他条件。为在似乎可能的无数轨道中进行选择，玻尔提出了判断的标准（图7.5）。这些特许的轨道叫做稳定态。玻尔进一步作了假设，他的话是：

1.处于稳定态之体系的动力学平衡，可以通过普通力学予以讨论，系统在稳定态之间的过渡，则不能以那个基础来处理。

2.后一过程继之以单色辐射的发射，对此，频率与发射能量之间的关系应由普朗克理论确定（即E1-E2=hv）。

上述两个假设同经典物理学是矛盾的。并且，不论是同时或是各别提出，我们都会陷入似乎不能逃脱的迷宫。庞加莱曾经说过：由于提出了相互矛盾的假设，人们可以证明任何东西；这个观点在数学上是正确的。只有绝妙的不可思议的直觉才把玻尔从迷津中解救出来。过了很多年之后，推测最神秘的自然真理的大师爱因斯坦曾说过：

这种不牢靠且矛盾着的基本原则，足以能使具有玻尔那样独特直觉知识和理解力的人发现光谱线和原子电子壳层的一些重要定律它们对于化学的意义，在我看来如同是一个奇迹，甚至在今天仍然是作为奇迹出现的。这就是思想领域中最和谐的形式［希尔普，阿尔伯特·爱因斯坦，《哲学科学家》，第46页］。

玻尔用于逃脱迷宫的阿里阿德尼[1]的线，是基于这样的一种需要，即要求对于大轨道经典理论和玻尔假设应给出相同的结果。玻尔说：

我们将表明，这个用于决定稳定状态能量大小的条件有这样一种性质，即运动在相对差异很小的连续稳定态范围里，计算出的频率（E1-E2=hv），必然会同按照体系在稳定态中运动的一般辐射理论预期的频率趋于一致。

这确实是一场革命，但却没有造成不可弥补的破坏。这就是所谓对应原理的一种特殊情况，它表明如何从宏观体系过渡到微观体系。这条原则，在发现量子力学之前，曾用过多种方法提出，并用各种可能的方式予以详细的阐述。它作为直觉的指导最为有用，但不可能象热力学原理那样严格地用公式表示。相反，夸大点说，可以以一种语言的方式将它描述出来，如“玻尔本会照此进行。”(https://www.daowen.com)

根据上述（1）和（2）原则正式提出的假设，要获得轨道半径、稳定状态能量，从而得到氢光谱，就不那么困难了（参见图7.4和7.5）。

在附录9中，我们列出了玻尔以对应原理为基础进行计算的要点。其最终得到的结果是随着数1，4，9等等增大的轨道半径（rn），更确切地讲，其半径

式中n是正整数，h为普朗克常数，m和e是电子的质量和电荷，Z为正整数（原子序数），因此，Ze冠以负号便是核电荷。这样，稳定态的能量就为：

这里，我们把电子处于静止状态，即与核相距很远时的能量取为零。根据能级，光谱线的频率立即可从规则（2）求出，其关系式是：

至此，我们已经解释了巴耳末公式，而出现在巴耳末公式中的常数现在已能通过e，m和h来表示了，这就是：

这样一来，我们就在相互差距甚远的物理学各章节，即光谱学、放射性和黑体理论之间，架起了一座桥梁。如此明显不同领域的这种统一，始终是我们沿着正确探索途径的一种标志，它实质上是一种最为重要的结果。图7.3、7.4和7.5用图示的方法对所有这一切——能级、线光谱、轨道，都作了说明。

早在1913年，玻尔就开始撰写难度极大的论文。论文分三个部分。在第一部分中，他希望对原子和分子的组成作出一般性解释；第二部分计划专写有几个自由度的系统；第三部分打算讨论多于一个核的系统。但这项计划一直没有尽善臻美地完成，只是在1918年前后发表过其中的一部分。1918年8月，玻尔致信他的朋友物理学家O.W.里查逊，信中写道：“我知道你了解事情是如何发生的，也了解我怎样生活，按照科学观点，是怎样度过了各个不同的时期，这当中既有过极度的欢乐，也有过失望；既感到过精力充沛，也尝过精疲力竭的苦楚；还度过了着手写作论文而没有将它们发表的时日；因为在整个这一时期，对这一极为莫名其妙问题——量子论我一直在逐渐地改变着自己的观点，……”（玻尔，选集，第三卷第14页）。

玻尔撰写的第一篇有关原子的论文，标着的日期是1913年4月5日，刊于哲学杂志26卷。这篇论文，凡稍具物理学知识的人都容易读懂。在对应原理的指导下，玻尔灵巧地扬帆驶过了布满暗礁的大海并安全登陆，水平高的读者对玻尔具有的这种技巧将会赞叹不已。在论文的结尾，即抵达彼岸港口的时刻，他补充了最重要的论点：“对于被允许的轨道，角动量是h/2π的整数倍，这个事实也可用作量子化的标准，以便获得稳定态。”

玻尔的理论，在预言除巴耳末线系外的新谱线系，预言被离子化了的氦光谱，预言有限核质量对光谱线系的影响等等方面，都显示了特殊的作用。但是，玻尔完全意识到了它存在的严重不足之处，也懂得它充其量只能代表一种坚实的理论被发现之前的一个暂时阶段。他始终强调这一个令人烦恼的真理，然而，理论和实验的结果有时虽只是近似的，但仍给人深刻的印象，它保持着累积性。在这儿，我只提供超出光谱学范围的涉及物理学基本原理的两个结果，这就是弗朗克-赫兹和斯特恩-革拉赫实验。后面我将对其再作描述。

玻尔的理论是如何被接受的呢？回过头来看一下，当时的证据并非始终可靠，但是，卢瑟福把玻尔的论文转呈哲学杂志，没有顾及它的“不成熟思想”，这一事实就表明卢瑟福认为玻尔的论文具有价值。玻尔从丹麦把原稿寄给卢瑟福，卢瑟福根据常识提出异议：在玻尔的理论中，一个电子必须事先知道它要跃迁到哪一条轨道。这个严重的困难在一段时间内一直没有弄清。1917年，正如我们所知，当爱因斯坦以同放射性相类似的办法为基础引入几率概念的时候，他就迈出了决定性的一步。总之，除了上述不同意见外，卢瑟福还发现论文稍嫌冗长，并试图压缩。他致信玻尔，有点随便地讲了这样做的情况，但得到的反应完全出乎预料：玻尔乘船去了英格兰，到了曼彻斯特大学，在那里，他为捍卫自己的论文，针对卢瑟福的批评意见逐条逐条地进行了辩解，直至获胜。要是我能目睹这一情景，将会感到高兴。玻尔是一位举止温雅的人，对卢瑟福很有礼貌，十分尊重。卢瑟福比玻尔年长，习惯于下命令，并确立了很高的科学地位。他在一封信中评论说，他从未预料玻尔会如此固执。

为了对卢瑟福批评的起因有所了解，下面引用玻尔第一篇论文一节结尾中的一段：

上述见解只是初步的假设性的，这已无需强调。但其意图将在于表明，稳定态理论这种粗略概括，有可能为阐明用一般电动力学不能解释的实验事实提供一种简单的基础，而所采用的一些假设看来并不与种种有关现象的实验不相一致，这些现象，经典动力学和光的波动理论已作出了满意的解释。

语调可能是夸大了，但每一个措词全都经过了仔细推敲。卢瑟福和玻尔一生中都保持着非常亲密的友谊，这已无需赘述。他们的科学风格和探讨方法尽管差别很大，但彼此都极为关心，极为爱护，在科学上也能相互理解。对于他们之间的关系，玻尔在他的“回忆核科学的奠基人和以其工作为基础的某些发展”一文中已作出了雄辩的证明。

写作对玻尔来说，就如同他后来的合作者所知道的那样，是一件伤脑筋的事。一篇论文开始写作，写好了又重写，或许可达十多次。在每一修改本中，他这里改一句，那里改一句，斟酌措词，使叙述清晰或修改概念的定义。最后，论文被送去出版，例如送到了丹麦科学院。当清样回到作者手里的时候，为提高表达的准确性，或者玻尔又有了某种新的思想，实际上又是重写。排字工感到厌烦，院领导左右为难，但他们应允了，因为玻尔毕竟是玻尔。耽搁几个月之后，科学文集会以没有玻尔的文章而出版，几年之后，尽管合作者和同事已经看到了那期间各种暂订版本，而论文却仍在改修之中。要是论文最后出版了，即使非常深刻，也不大可能作为明彻清晰的模本。对于论文的深刻性以及说理的清晰性，玻尔手头早已有了某些德语的引语，例如188页上的那一条。这或许是较年长人的特点而不是年仅30岁的玻尔的特点。但在139页上引用的致里查逊的信和玻尔的档案充分说明，甚至年轻时的玻尔已经按此方式写作了。

现在，让我们来谈一谈对1913年那篇重要论文的接受情况。那年9月，英国学会在伯明翰举行大会，卢瑟福、H.A.洛伦兹、O.洛吉（O.Lodge）、瑞利勋爵、琼斯及其他一些重要的科学家出席了大会。玻尔的论文受到了注意，与会者进行了讨论。瑞利勋爵评论说：“我看过论文，但我看它对我毫无用处。不是新发现不可能用那种方法做出，我认为他们很可能就是如此作出的。但这并不适合于我”（《瑞利》，瑞利勋爵的生平，第357页）。瑞利已经71岁，自发誓对物理学的新发展保持沉默以来，已有很长时间。他恪守诺言。但是，新理论的成功是不能否定的。在哥廷根，P.德拜热情赞同玻尔的论文，显而易见，A.索末菲曾明白地对L.布里渊说，这是一篇具有历史意义的杰作。另一方面，在苏黎世，后来为推进玻尔思想作了大量工作的O.斯特恩和M.冯·劳厄研究了论文之后说，如果竟然会意外地证明论文是正确的话，他们从此就放弃搞物理学。在曼彻斯特大学就成为玻尔亲密朋友的乔治·亥维赛拜访了爱因斯坦，给他讲了玻尔的工作。爱因斯坦立即感到兴致勃勃；他说他曾经也有过相类似的想法，但没敢对其深究。由于明显的满足，亥维赛赶紧写信把爱因斯坦的意见告诉了卢瑟福和玻尔。

玻尔建立原子模型只比第一次世界大战早几个月。丹麦得以保持中立，但玻尔赞同协约国的事业。那时，他在哥本哈根从事着一种次要的而且相当不令人满意的工作，1914年，他在曼彻斯特大学卢瑟福的实验室取得一个职位，直到1916年他被召回丹麦，被授予理论物理学的教授职位为止。玻尔始终同实验物理学保持着密切的接触，他竭尽努力以获得同他的职位相称的实验室。战后，他成功地实现了自己的愿望，一个新的研究所在哥本哈根建成了。起初，玻尔就住在研究所里，尔后，到1932年，玻尔一家便成了应邀住进“荣誉馆”的第一个家庭。“荣誉馆”是由著名的卡尔斯贝尔格啤酒厂创建人J.C.雅各布森建造的一座住宅。

这座建筑物现在是丹麦人文科学或者自然科学界最伟大公民的半官方住宅。它是一座豪华的住所，创建人为它留下了维修的资金。它座落在啤酒厂附近，按新古典主义的风格建成，但适合丹麦的气候；它还有一座优美的庭园。玻尔夫人是一位老练的女主人，几年当中，玻尔夫妇曾邀请过许多重要人物来家作客，其中有一些王族和首相，以及包括卢瑟福在内的许多伟大科学家。他们也欢迎过正在哥本哈根工作或参观的许许多多生气勃勃的青年物理学家。

玻尔的声望很快传布开了，不久就接到世界各地讲学的邀请。1920年他到了德国，第一次会见了普朗克、爱因斯坦和德国另一些主要的理论家。在荷兰，他见到了H.A.洛伦兹和保罗·埃伦菲斯特，与他们建立了亲密而又牢固的友谊。爱因斯坦也喜爱玻尔；访问柏林之后，他致信玻尔说：“世界不常有这样的人，仅是由于他的出现，就能象你一样使我如此快乐，现在我才明白为什么埃伦菲斯特这样的喜爱你。眼下，我正在研究你的几篇重要论文，在此过程中——每当我在什么地方遇到困难时——看到你那年轻的面容出现在我的面前，你微笑着，正在讲解……心里就会感到高兴。”（玻尔，选集，第3卷，22页、634页）。

玻尔及其在哥本哈根的研究所，也履行过由于战争后果引起的一种崇高且应尽的职责。战争播下了宿恨，留下了幼稚而危险的复仇欲望。这种感情已经蔓延到了许多科学家身上。协约国一方的那些科学家要求从国际科学生活中开除他们的德国同事；在另一方，德国的科学家却不合理地被当作牺牲品。这种行为在由年纪较大、不大干事的科学家组成的官方科学界，比在一心一意作研究的青年科学家中更为盛行。玻尔努力同这种过火行为作斗争，企图在已经分裂的科学界中建立良好的关系。他的人品，以及他是中立国公民这一事实帮助了他的这项事业。

玻尔的科学活动采取的是一种奇特的方式，他工作的习惯是边想边讲和进行没完没了的讨论，为此他就需要一名伙伴。这是一种苏格拉底式的问答法。采用此种方法，他在交谈的同时便建立了他的物理思想。玻尔的第一个助手是荷兰人H.A.克拉末斯（H.A.Kramers）。接着又有许多人相继跟随他。这些人后来都成了名。其中英国人P.A.M.狄拉克、N.F.莫脱（N.F.Mott）；德国人W.海森堡；奥地利人泡利；俄国人G.伽莫夫（G.Gamow）、L.D.朗道（L.D.Landau）；美国人J.C.斯莱特（J.C.Slater）、H.尤里和J.R.奥本海默（J.R.Oppenheimer）；日本人仁科；以及斯堪的纳维亚人O.克莱因（O.Klein）和S.罗赛兰（S.Rosseland），是持续逗留在哥本哈根的。下面是狄拉克写的他与玻尔的谈话：

在他边想边说的时候，我常常只是他的一名听众。我非常钦佩玻尔。他似乎是我有生以来遇到过的一位最深刻的思想家。他的思想，我要说，哲理性是极强的。尽管我曾竭力要弄懂它们，但却不甚理解。我自己的思路，实际上是侧重于能用方程式来表达的设想，玻尔的大部分思想其特点则更具普遍性，同数学相距甚远。但是，同玻尔保持密切联系，我依然感到高兴。正象我以前已经讲过的那样，我不能确准：聆听玻尔的所有这些想法，对我自己的工作已影响到了什么程度（狄拉克，国际物理学讨论会会议录，“恩里科·费米”，第57卷，134页）。

由于玻尔的写作方法特殊，他自己出版的东西并不多；不过他是各种活动的中心人物。此外，他还经常外出旅行，应邀到欧洲和美国的各个科学中心交流他的思想。

玻尔对以1924年前存在的模型为基础的那种量子力学，要比其他一些著名的物理学家，例如阿诺德·索末菲，更为谨慎和持批评态度。他始终强调理论需要有坚实的基础，并应突出存在的各种主要矛盾。

在哥本哈根，玻尔在他的研究所里还发起召开过一系列小型的非公开年会。他邀请约三十名有名物理学家出席，其中包括实际上每次都到会的海森堡、泡利和斯特恩。除此之外，他还邀请许多来自各国的朝气蓬勃的较年轻的物理学家参加。这样就为会见有作为的青年物理学家，以及使他们了解哥本哈根、相互结识提供了一个机会。这类会议往往有利于在一代又一代新的物理学家中间建立长期的持久友谊。凡是能够活到1920年至第二次世界大战这段时间的重要的物理学家都有过参加一次或数次这种会议的难忘经历（图7.6）。