15.6　理论

在第Ⅲ卷关于桥梁的那一章（第16章）中就理论所作的叙述中可以清楚地看出，直到1750年，桥梁建造师们在处理问题时还很少体现出科学知识。伽利略曾用几何方法指出，截面为矩形的梁的阻力矩与其宽度、厚度的平方以及材料对直接拉伸的阻力成正比。拉伊尔（La Hire）曾提出问题，如果整个材料处于压缩状态，而横穿过楔形穹顶石块间的任一连接处的力没有任何剪切或摩擦分力，则载荷在穿过穹顶的跨度过程中会如何变化？布格（Pierre Bouguer）也以类似的方法提出，如果穹顶保持稳定并且只承受压缩力时，每一层砖石结构的重量应怎样随着曲率而变化［19］？然而，如果穹顶已经按某种任意形状建成了，并且显示出有损坏的迹象，那么这些理论无助于揭示其实际的应力状况。这个问题是由教皇本笃十四世（Benedict ⅩⅣ）于1742年提交给三位著名数学家勒苏尔（Le Seur）、雅基耶（Jacquier）和博斯科维奇（Boscovitch）的，因为当时在圣彼得大教堂的穹顶以及穹顶下的砖石结构中发现了令人担忧的裂纹。

三位数学家于1743年提交了报告。为了把问题简化为一个便于求解的静力学问题，他们考虑将穹顶和支撑穹顶的柱基任意划分成几部分，就像橘子的几瓣，并在柱基与穹顶连接处的内部设一只虚拟的枢纽。基于这种假设，穹顶的石块会有下落的趋势，从而把柱基向外推，这样柱基会围绕其基础的外边缘倾斜（图274）。一块穹顶石所做的功是其重量与其重心的降低量的乘积，这个功一部分由柱基所做的功平衡，数值等于其重量与倾斜时产生的重心上移量的乘积。两者之差必须由拉伸制动链所做的功来补偿，制动链围绕在穹顶与柱基相连接的地方，计算方法是取（a）链的伸长量与（b）使链拉伸所施加的力两者的乘积，如果开始倾斜时，链没有受到力的作用，那么其应力的均值将是最后状态时的一半。计算表明，如果结构的稳定性仅依赖于链，则情况就比较严重，因为链必须抵抗住的力是会将其拉断的力的3倍，即使它和范·米森布鲁克（Pieter Van Musschenbroek）［20］于1729年作过试验并有记录的铁绳的强度一样也不行。相反，就面积对面积而论，重锻和焊接链的强度，可能远远低于细拉金属丝的强度。尽管关于在剪切阻力、摩擦力和移动中的砖石结构受压等所吸收能量的计算没有被考虑在内，但所进行的虚功计算还是有一定意义的。这方面的进一步发展，再加上法国科学院和桥梁公路工程局的成员们所作的材料弹性性能的研究，适时地导致了应力分析和结构设计等有效技术的问世。同时，人们对于圣彼得大教堂结构问题的态度，倾向于将其归咎于地震、雷击、工艺缺陷以及设计中存在的问题，这有一定的合理性。然而，对于在需要增加链条并将损坏的砖石结构换下来这一点上，是没有人不同意的，这些措施经证明也是行之有效的。

图274　罗马圣彼得大教堂：穹顶的稳定性。1743年。

瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler，1707—1783）在材料的弹性性能研究方面迈出了重要一步。他研究实际材料的兴趣没有像研究材料弯曲成可以从数学上进行解释的曲线那么高，这些曲线包括条板和层板在给定力的作用下弯曲成的曲线。1757年，他推导出了可使一根长的可挠曲的柱体丧失稳定的临界载荷的计算公式。在后来的理论中，他所作的研究工作体现出了根本性的重要意义。但是在18世纪50年代，长而可挠曲的柱子并没有什么实际的用处，所以欧拉的工作就被人们忽视了。

在为工程师们提供关于材料强度的实用理论方面，库仑（Charles-Augustin de Coulomb，1736—1806）比任何先辈都有了很大提高，他于1773年提交给法国科学院的《论极大极小定律在与建筑物有关的某些静力学问题中的应用》（on the applicatlon of the rules of maxima and minima to some problems of statics relative to architecture）的论文对此作了阐述。长达40页的论文中，库仑讨论了至今仍在现代教科书中讲授的梁的理论，包括剪力理论，这是根据他在一开始就清楚阐明的静力平衡定律发展而来的。他发展了土层压力作用于挡土墙的楔块理论（现在仍被采用）以及对拱体的处理方法，这不是一组光滑的易于相互滑动堆叠的楔块，而是一个容易断裂并绕虚拟铰链转动粉碎的实体，虚拟铰链的位置可按他描述的方法予以确定。但是，当时库仑的研究成果与欧拉的一样，看起来过于数学化了，不易被人们理解，因而并未引起广泛注意。库仑本人由于对其他事情感兴趣，并未去开发他的成果，没有去揭示这些成果怎样才能在工程中进行实际应用。然而，这个理论在由戈泰（见下段）、普罗尼以及桥梁公路工程局中的其他学者研究以后，在适当的时间由纳维在他的《力学应用讲义》（Lectures on the Application of Mechanics）中反映了出来［22］。这本讲义集构成了对那所著名学校的学生讲授材料强度和结构理论课程的基础。

几乎完全与库仑同时代的戈泰（Emiland Marie Gauthey，1732—1806）是桥梁公路工程局的一名官员，也是结构理论方面的著名作者。虽然他的工作并没有多少根本性的重要意义，却显示出比库仑的工作还要直接的影响，因为他卷入了对圣·热内维耶瓦教堂（后来成为巴黎的法国先贤祠殿）的穹顶的争论。

罗马圣彼得大教堂的穹顶和伦敦圣保罗大教堂的穹顶的支撑方式都是传统式的。它们的穹顶都是由柱基上的扶壁支撑着的，全部负重在支在教堂主体内（4个交叉角处）的大型基石塔或棱堡的4个大拱上。在1757年开始重建圣·热内维耶瓦教堂时，建筑师苏夫洛决定试用一种新方案，想将位于穹顶下面的4只大拱支托在足以承受垂直荷重的4束柱上。他将水平侧向压力转移到建筑物的主墙上，以避免被教堂主体内的棱堡所阻碍。他提出，只要有必要，就将锻铁棒的骨架埋入砖石结构连接处内的槽内，并使之相互连接，以组成一开式框架大梁系统。当意识到他的意图后，那些思想守旧的建筑师非常反感，并预言这将会带来灾难。然而，戈泰在苏夫洛向其咨询以后，却支持这一方案，还设计建造了一台木框架并带有一个长为7英尺的铁杠杆的试验机，试验时使用了一个力臂比为24∶1的试样（图275）。戈泰就用这台机器测试了许多备选石料的样品，以确保这些柱子能安全承载它们的荷重。这件事至今仍被认为是第一次使用试验机为实际的建筑物设计建造提供资料。苏夫洛制造过一台类似的机器，不过用的是铁框架。桥梁公路工程局也是如此。最后，在苏夫洛手下工作并完成了苏夫洛去世时未竟的圣·热内维耶瓦教堂重建工程的龙德莱（Jean Rondelet，1734—1829），采用一个刀刃代替杠杆支轴处的螺栓，并用一架螺旋千斤顶去施加载荷的方法改进了这架试验机，这样在观察的样品处于受压状态时平衡架可以保持水平［23］。

这项工程完成以后的几年内，穹顶和承载其重量的柱子上都发现了不祥的裂缝。曾经在1770年盛行一时、只用戈泰以试验结果所提供的证据作检验的小册子之战（battle of pamphlets），于18世纪90年代重新爆发。建筑物本身似乎已经站在了苏夫洛的对手一边去了，各种各样的建议都提了出来，诸如在建筑物内增建大型的柱子和扶壁，甚至还有将穹顶拉下来换上更薄更轻的结构。最终，又是戈泰出来以其新的计算挽回了局面——计算表明穹顶下支座的平均荷载只有28吨/平方英尺，这对于所采用的石料而言并不过大。然而在建造支座时，由于采用了硬石作为砌面，而用相对较软的石料做芯。这使得可压缩性较差的硬石承载了大部分的荷载，同时使情况变得更糟的是石匠曾把底座做成锥形，使得在表面处看不出接缝的厚度是多少，只好允许内部有较厚的砂浆。自然地，过载的石料边缘已经裂开并剥落了。最后，龙德莱在三角支座的两个侧面加上了约2英尺的石料，再将一组铸铁棒固定在原来的砖石结构上（图276）。

图275　戈泰的试验机，1770年。（上）正面图；（下）平面图。

苏夫洛采用的方法是将铸铁棒嵌入砂浆之中，在砖石结构凡是有可能出现裂缝或断裂的地方，通过开槽放入地基和砌体的接缝内。这是采用钢筋混凝土前使用的一种方法，其缺点在于所用的铸铁棒不能有效地防止锈蚀。还有，几乎可以肯定的是，设计时有关要求铁棒用于抗阻的力的大小只是一个粗略的概念，当时以及后来在巴黎建起的锻铁屋顶结构也是这样的［16］。

在销钉连接的桁架或框架结构中受力的图解分析法在我们讨论的这一时代以后才发展起来，但是这些方法所依据的画法几何则是蒙日（Gaspard Monge，1746—1818）于1768—1780年在梅济耶尔的军事学校任数学教授时提出来的。后来，他又在海运学校任教。这所由蒙日负责组建的学校于1794年在巴黎建立，1795年变成高等工科学校，对各行各业的学员进行基础性的科学培训，既有军用也有民用。

在胡克（1635—1702）和托马斯·杨（Thomas Young，1773—1829）之间的这段时间，没有一个英国科学家在结构理论方面作出过任何重要的建树。大家都忽视了胡克（Hooke）那个理应非常著名的定律——任何材料的形变都与作用在材料上的力成正比。研究这一课题的一些法国学生——尤其是库仑，曾经把这一定律看作对于实际工作非常有用的假设，但看起来没有一个人真正了解胡克为建立这一定律而认真完成的那些实验。这个课题存在的问题还在于无法区分低应力产生的效应和高应力产生的效应，前一种应力产生的小的弹性形变与胡克定律一致，而后一种应力存在于延性材料之中时，可产生大的塑性变形。不论是延性的还是脆性的，一切材料的特性在承受远低于极限强度载荷时，就会明显偏离胡克定律。直到进入19世纪，人们所做的大部分实验还都是破坏性实验，因此一直未能阐明在正常工作载荷范围内弹性运动的重要性。欧拉曾在他的公式里引入了一个适用于任何材料的常数项，该常数项与载荷和形变有关。不过，还是杨（Young）定义的“弹性模量”[2]具有潜在的可能性，可以用来作为计算实际形变的方法。使用“潜在”这个词是经过考虑的，因为杨的文章晦涩难懂，所以并没有引起注意。如果杨能更聪颖地表达自己意见的话，它们这个主题的重要性是可以确保的。杨是一个很有学问的人，可惜他甚至从来没有开始意识到常人在理解力上的限制。对于他的听众来说，他的演讲很难理解，而且他出版的著作无论当时还是现在都难以读懂。他曾应聘到皇家研究院作自然哲学讲座，但这项任命第二年以后就被取消了。杨在准备他的讲座中曾克服了巨大的困难，并决定将讲稿出版，在1807年以两卷本的形式问世［24］。

图276　龙德莱为圣·热内维耶瓦教堂的支座增加的结构，1806—1810年。

在结构材料的问题上，杨扩充了欧拉和库仑的工作，对于库仑也是倍加钦佩。他在关于梁的理论中引入了“中性轴”一词，用于表示在梁的横截面上中性层的轨迹，中性层是指该层面的物质既不会拉伸也不会压缩。因为他所研究的仅是“棱柱形”截面，所以他并没有用通用的术语来阐明其位置，但他的确揭示了当对梁上正常的横向载荷上再加一个纵向载荷时其位置是怎样变化的。如前所述，欧拉曾经给出过一个载荷公式，在某一载荷下一根细长的直柱会通过在弹性上变得不稳定而出现坍塌。他曾经设想过一个完全中间的载荷，结果却惊奇地发现，理论上逐渐增大载荷使其达到临界值，柱子会突然发生坍塌，但在此过程中却根本连一点挠曲也没有产生。

杨考虑了柱子略微有点弯曲以及柱子上作用的载荷偏离中心线的情况。他指出，在这两种状况下，随着载荷的增加，挠曲会增加得更快。他给出的这两种情况的公式到20世纪被人们重新发现，并作为新公式提了出来［25］。

杨的工作后来由罗比森（John Robison）进行过研究，罗比森是一部很有影响的应用力学教科书的作者。可能是经过罗比森的努力，杨的一些观点才得以出现在特雷德戈尔德（Thomas Tredgold）的教科书中，这些教科书曾在这一时期的工程师中间广为流传。

特尔福德（Telford）和道格拉斯（Douglas）（边码458）提出的取代老的伦敦桥的方案，是采用一个单跨长度达600英尺的铸铁拱。该方案被提交给了英国下议院关于改造伦敦港的一个精选的委员会，并对他们两人的第三份报告进行了讨论（1799年和1800年）。该委员会召集了一批经过慎重选择的包括皇家天文学家在内的数学家和工程师作为专家证人，工程师中就包括了伦尼、杰索普以及伯明翰索霍的萨森（John Sothern）。一系列问题被提了出来，主要是关于作用在这么大的铸件组合体上的载荷分布问题。它能像一个实体那样起作用吗？这么大的重量会都作用到最下面的肋上吗？各个部件该如何连接？它会断裂成碎片吗？等等。杨虽然未应邀参加，但也密切注意着他们的审议意见。他用一段话作了总结：“在最异端的信仰誓言，或最多变的品位变化方面，比之我们最著名的教授们对于交付给他们思考的问题的几乎每一点所表现的反应，很难找到更大的不协调性。”杨在他为《不列颠百科全书》撰写的关于桥梁的条目中，试图自己来回答那些问题。那个条目的技术性很强，而且也长得难以在这里作概括性阐述，其重要的特点在于杨把这一问题看作一个至少和强度同等重要的弹性运动问题。在委员会面前，只有罗比森和萨森有根有据地对荷载分布等问题表示过赞赏。在专家证人们通常满足于作一些模糊不清的概括性陈述的地方，杨对几乎每个问题都以计算为依据作出回答。当时还没有人能对铸铁的强度给出一个可信的数据，实际上公开发表的第一个试验数据也许就是乔治·伦尼（George Rennie）于1818年得到的数据［26］。为了避免在这一点上被打败，杨自己做了一个简单的试验。他用老虎钳夹住锉制了一个小的铸铁棱柱（1/8英寸×1/8英寸×1/4英寸），测量将其夹碎需要用的力。考虑到摩擦力，他计算出的这个力大约为1吨，或者是每平方英寸64吨，对于一个临时试验能得出这样的结果，这是非常好的。

伦敦桥的提议最终被否决，但十分奇怪的是对墩座基础却什么也没谈到，尽管已经证实这些基础可能是实施这项工程最困难的部分，因为任何可见的沉降都很有可能对大桥造成灾难。

在杨所作的种种研究中，都没有涉及怎样把铸铁梁的形状做得最经济这样一个问题，对此要考虑这样一个事实，即金属的抗压强度至少是抗拉强度的5—6倍。不过，这个问题还是被提出来了，当时考虑是它的原因要提高厂房的防火性能，好的方法就是把楼板支撑在由铸铁梁构建的砖拱上（边码475）。早期梁的截面几乎都是矩形的，但试验验证很快表明，为了对拱的斜块拱座提供更好的支撑而在下边增加的金属，对梁的强度的提高比起使重量增加而言作用更大。

费尔贝恩采用了一种有所改善的倒T字截面梁，后来发现霍奇金森（1789—1861）已在用小试件对外形类似的型材进行试验。费尔贝恩邀请他一起努力，利用他的铸工厂和车间作全面的系列试验。通过这种方式，霍奇金森才得以发现了最经济的截面形状，并且推导出计算铸铁梁强度的公式。集中作用于跨度中央的载荷W与受拉翼缘的面积A和梁的厚度d成正比，而与跨度L成反比。W的单位为吨，所有尺寸的单位为英寸。霍奇金森计算出［27］对于最经济的剖面来说：

W=26Ad/L

然而，人们发现采用霍奇金森的理想截面的大型梁，由于集中于底部凸缘的金属过多，在制造时会使得别处比较薄的部分冷却的速度较快，结果在金属内可能形成高的内应力。所以，虽然霍奇金森的方案理论上是完全经济的，但在实践中通常不见得能够如愿以偿。

霍奇金森又继续研究柱体的强度。与砖石结构柱体不同，金属柱体经常又长又细，此前已引起欧拉注意的不稳定趋势——不同于压碎的危险，在这里已不能再忽视了。霍奇金森试图将他的结果纳入破坏载荷P的公式，即：

式中c、m和n都是常数，而d是直径。在欧拉讨论的情况中，L比d要大得多，n为4，m为2。但这两个常数对霍奇金森的试验结果而言太高了，最后他发现没有一对常数能适合所有情况，而最接近破坏载荷的是取压碎载荷和欧拉的临界载荷的谐和平均值。如果梁很短，这与压碎载荷是一致的。如果梁很长，则和欧拉的临界载荷一致。在这两种极端值中间，该曲线是非常适应以L/d的中间值标绘的破坏载荷试验点的下限的。霍奇金森的最后公式，先后经刘易斯·戈登（Lewis Gordon）和兰金的修改，作为柱体的戈登—兰金公式被收入教科书，在19世纪得到了广泛应用。

到19世纪中叶，正如关于桥的那一节（边码460）所述，一种替代用铸铁造梁的方案出现，也就是采用锻铁板形桁架的形式，上翼缘必须坚硬得足以抵抗压缩，而抵抗拉伸的下翼缘就不很复杂了。竖直“腹”板——不是指固定翼缘的腹板——的功能并没有很快被意识到，但是对适合布列塔尼亚大桥的形式所做的试验表明，如果不想把桁架压弯或折成不稳定的波状，则也需要有一定的硬度。实际上，通过这些试验，板形桁架的设计及其作用方式的理论都有了发展。此项研究工作是由斯蒂芬森（George Stephenson）、费尔贝恩以及霍奇金森合作进行的。

后来，人们也对铁道桁梁采用开腹式梁材或桁架产生了兴趣。在这里，腹板以支柱和拉杆的形式与翼缘或翼弦（另外一种叫法是横杆）构成一系列三角形。在英国，对这种结构形式的经验甚少，其中有些造成的后果还非常不幸。皇家铁路委员会在其1849年所作的报告中，反对使用这种结构。

1850年，布拉德（W.Bindon Blood）和多因（W.T.Doyne）向土木工程师协会呈交了一篇关于此类腹板受力计算的短文，而鲍（W.H.Bow）于1851年在爱丁堡发表了一篇题为《论支撑》（Treatise on Bracing）的论文。然而，这种类型的桥梁桁架在美国已取得了很大进步，用木制件作为承压构件和用可锻铁杆作为至少一部分拉伸构件的桥梁设计，被广泛用作公路桥。人们尝试了许多精巧的支撑件排列方法，有些在某些地区已成为标准做法。这方面早期的实例完全是经验型的，但惠普尔（Squire Whipple）在1847年发表了《论桥梁建筑》（A Work Upon Bridge Building）的文章，豪普特（Herman Haupt）于1851年发表了《桥梁结构概论》（The General Theory of Bridge Construction）。美国和英国的作者都解决了各接点构件的受力问题，将其作为处于平衡状态的单独的力的体系来处理。把问题和求解方法简单化的图解法直到19世纪60年代才发展起来。图解静力学的创始人是库尔曼（Carl Culmann），他于1849—1851年曾经访问过英格兰和北美洲，当时他对于惠普尔的工作特别感兴趣。

15.6 理论

15.6　理论