|6.1 不完全信息动态博弈的概念|
不完全信息动态博弈就是每个参与者都可以修改自己的信息,每个参与者都根据别人修改后的信息对自己的判断做出改变,做出最优的选择。
在不完全信息动态博弈中,信息具有不完全性。所谓信息的不完全性,是指每个参与者都不能掌握别人全部的、完全准确的信息,所得到的信息是残缺的或者过时的,因此参与者要不断根据自己目前所掌握的信息作出判断。
在人类社会中,不完全性的信息到处可见,例如,田忌赛马就是一种不完全信息动态博弈,参赛的A和B双方在开局前并不知道对方到底是如何排兵的,所获得的信息是有限的,必须自己做出判断,让自己的排兵布阵达到最优的情况,即我方的下等马对战敌方的上等马,我方的上等马对战敌方的中等马,我方的中等马对战敌方的下等马。奥运会的乒乓球团体赛就是典型的不完全信息动态博弈的例子,其状况比田忌赛马更加复杂,比如在我方输掉了第一局的情况下,为了获得最后的胜利,后面的排兵布阵极有可能打乱重排,以产生迷惑敌方的假象。
因此在不完全信息动态博弈中,每个参与者都应该不断地思考自己所获得信息的真实性和可靠性,在判断信息是否真实和可靠的前提下,再去做出判断,是否改变自己的策略,让自己做出的选择成为最优解,使自己的效益最大化。
完美贝叶斯纳什均衡是完全信息动态博弈的子博弈完美纳什均衡与不完全信息静态博弈的贝叶斯纳什均衡的结合。贝叶斯方法是概率统计中的一种分析方法。它是指根据所观察到现象的有关特征,对有关特征概率分布的主观判断(即先验概率)进行修正的标准方法。以下介绍几个不完全信息动态博弈的例子,帮助读者有个初步的认知。
中国著名寓言故事黔驴技穷就是贝叶斯方法思想的一个典型表达。老虎没有见过驴子,因而不知道自己比驴子强还是弱。老虎的战略是:如果自己弱,那就只能躲;如果自己强,那就吃驴子。对于自己并不了解驴子,老虎的做法是不断试探,通过试探修改自己对驴子的看法。如果驴子表现得温顺无能,老虎就认为驴子是美食的概率比较大,起初驴子没有反应,老虎认为驴子不像强敌,胆子越来越大。后来驴子大叫,老虎以为驴子要吃它,吓得逃走,但后来想想,又觉得不一定,于是继续试探,直到驴子踢老虎,老虎才觉得驴子“仅止技耳”,于是采取自己此时的最优行动——吃驴子。
这里继续以经典的不完全信息下的市场进入博弈为例(注意与例5-1的区别)。在这个例子当中,有两个参与者,一个是在位者,另一个是进入者。本例考虑t=1,2两个时期,t=1时期,市场上有一个垄断的企业,即只有在位者在生产产品,一个潜在的进入者判断此时是否要进入市场。如果进入者决定进入市场,那么两个企业就进行博弈,在位者决定自己是否阻挠进入者进入市场。
若进入者不进入市场,那么在位者仍然是一个垄断者,与t=1时刻状态一样。
假设在位者有两种类型:高成本类型和低成本类型。所谓高成本类型是指在位者阻挠进入者进入市场需要付出较大的代价;而低成本类型是指在位者阻挠进入者进入市场付出的代价较小。因此,若在位者是高成本的类型,那么阻挠进入者进入市场的概率会小一些;若在位者是低成本类型,那么阻挠进入者进入市场的概率会大一些。但在位者的类型是私人信息,进入者只知道在位者是高成本类型的概率是u,是低成本类型的概率是1-u。进入者需要不断判断并计算在位者处于高成本类型的概率是多少。这个概率一开始是先验概率,所谓的先验概率,是指修正之前的概率,而后验概率,指的是修正之后的概率。一般通过贝叶斯方法来进行修正。
在t=1的时候,在进入者决定进入之前,在位者需要决定该时期的产品价格。假设这里有3种可能的选择价格P=4,5,6。如果是高成本类型的在位者,相应的效益为u=2,6,7;如果是低成本类型的在位者,那么相应的效益是u=6,9,8。因此,高成本类型的在位者的单阶段最优垄断价格是P=6,低成本类型的单阶段最优垄断价格是P=5,如表6-1所示。
表6-1 在位者在不同价格选择下的效益水平(第一阶段)
在t=2的时候,若进入者不进入,那么在位者仍然是一个垄断者,效益与t=1时期一样;在t=2的时候,进入者进入市场,假设进入市场的成本是2。若在位者是高成本类型,对称的古诺均衡产量下的价格P=5,在第二个阶段,无论在位者选择何种价格,若进入者进入,那么双方各自的效益均为3,扣除进入成本2,进入者的实际效益为1;若在位者是低成本类型,两个企业的成本函数不同,非对称古诺均衡产量下的价格是4,在第二个阶段,无论在位者选择什么样的价格,双方各自的效益分别为5,1,扣除进入成本2,进入者的实际的效益为-1。图6-1显示了每个阶段在位者和进入者的效益。表6-2表示的是进入者进入时,两位参与者在不同类型下的效益水平。
表6-2 在位者进入时,两位参与者在不同类型下的效益水平(第二阶段)
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图6-1 不完全信息下的市场进入博弈——两阶段不完全信息动态博弈的扩展表示
在上述情况下,双方进行动态博弈。以进入者为视角,进入者可以观察到价格的信号,无法得到准确的在位者类型的信息,进入者不断修正自己的先验信息,得到后验信息。
对于进入者而言,无论在位者选择什么样的价格,进入者总是认为在位者在高成本类型概率θ＜1/2时,选择不进入。若在位者处于高成本类型概率θ＞1/2的时候,则进入者进入市场。
图6-1中在位者有两个单节点的信息集,表示在位者知道自然的选择类型;在位者下面3条直线表示进入者有3个信息集,每个信息集都有两个决策节,表示进入者能够观测到在位者的价格,但是不能够观测到在位者的成本函数(即类型),即在位者能够观测到P=4或者P=5或者P=6,每一种价格都可能是高成本类型在位者的价格,也可能是低成本类型在位者的价格。进入者在第一个阶段的效益恒为0,表6-2省略了第二阶段博弈的扩展类,用古诺均衡支付向量和垄断效益取代,因为在第二阶段时,如果进入者进入,那么古诺均衡产量是每个企业的最优选择;如果进入者不进入,那么单阶段垄断产量是在位者的最优选择。
当博弈进入第二阶段后,企业的选择行动是一个简单的静态博弈决策问题,但是在第一阶段,企业的选择是一个动态的博弈问题,要复杂一些。进入者认为在位者在高成本类型的概率不超过1/2时,选择不进入,否则进入。与静态博弈不同的是,进入者在观测到第一阶段的价格后,可以修正在位者成本函数的先验概率u,因为在位者选择价格可能会包含着有关其成本函数的信息。例如,在任何情况下,高成本类型的在位者不会选择P=6,因为高成本类型的在位者在P=6时垄断的效益最高,在位者不希望进入者意识到自己是高成本类型。因此如果进入者观测到在位者选择了P=6,那么就可以推断出在位者一定或者很大概率是高成本类型,此时选择进入有利可图。尽管P=6是单阶段的最优垄断价格,但是高成本的在位者可能不会选择P=6,因为会招致进入者进入市场。在这个模型中,在位者必须考虑选择的价格所导致的信息效应,即不同的价格如何影响进入者的后验概率,从而影响进入者的进入决策。一个非单阶段的最优价格虽然会减少现期的效益,但是如果能够阻止进入者进入,从而使在位者在第二阶段能够得到垄断效益而不是古诺均衡效益,那么这种策略会更好,假设此时垄断效益与古诺均衡效益之间的差距足够大。因此,在位者选择什么价格,不仅与其成本函数有关,而且与进入者的先验概率u有关,而无论多少,单阶段最优垄断价格不构成一个均衡。
为了分析上述动态博弈的结果,仅使用之前介绍的贝叶斯纳什均衡是不够的。由于不完全信息动态博弈只有自身一个子博弈,因此子博弈完美纳什均衡将起不到改进均衡的效果。但是可以借鉴子博弈完美纳什均衡的思想,结合贝叶斯纳什均衡,形成完美贝叶斯纳什均衡。完美贝叶斯纳什均衡的要求如下。
①在每个信息集上,参与者必须有一个定义在属于该信息集的所有节点之上的概率分布,这就是参与者的信念,参与集包含参与者类型的信息,这一信念相当于参与者在该信息集上对其他参与者类型的概率判断。
②在后续的博弈中,要结合给定信息集上的信念和其他参与者的后续策略,参与者的后续策略必须是最优的。
③每个参与者都根据贝叶斯法则和均衡策略修正后验信念。
现在使用完美贝叶斯纳什均衡来分析上述的市场案例。在上述的市场案例中,在位者有两个类型,即高成本类型和低成本类型,进入者只有一个类型。因此只有进入者修正自己的信念,令u(P)为进入者在观测到在位者的价格选择后认为在位者是高成本类型的后验概率,其中P代表的是价格。首先,无论u是多少,在第一阶段,高成本在位者选择单阶段最优垄断价格P=6和低成本类型在位者选择单阶段P=5不是一个完美贝叶斯纳什均衡。因为进入者观测到P=6就认为在位者是高成本类型,进入者观测到P=5就意识到在位者是低成本类型(高成本类型P=6的利润最大,低成本类型P=5的利润最大),即u(6)=1,u(5)=0。在给定这个后验信念后,当进入者观测到P=6时进入市场。若高成本的在位者选择P=6的价格,那么在第一阶段,在位者会获得7个单位的效益,在第二阶段在位者会获得3个单位的效益,总效益为10。但是,如果高成本类型的在位者模仿低成本类型企业,选择P=5的价格,那么在第一阶段在位者会获得6个单位的效益,在第二阶段会获得7个单位的效益,因为此时进入者不认为在位者是高成本类型,不会进入市场,在位者的总利润是13个单位的效益。因此P=6不是高成本类型在位者的最优选择。
现在考虑两种不同的情况,即u＜1/2和u≥1/2。首先考虑u＜1/2的情况,此时的完美贝叶斯纳什均衡无论在位者是高成本类型还是低成本类型,在位者总是选择P=5的价格;进入者观测到P=6的价格时,才会认为在位者是高成本类型,进入市场。如果高成本类型的在位者选择P=6,进入者进入,第一阶段在位者的效益是7,第二阶段在位者的效益是3,总效益是10;但是如果高成本类型的在位者选择P=5,进入者不进入,那么第一阶段在位者的效益是6,第二阶段在位者的效益是7,总效益是13。因此在位者选择P=5的策略更好,牺牲第一阶段1个单位的效益来换取第二阶段4个单位的效益。同样,在给定进入者的后验概率和策略,低成本的在位者选择P=5时,第一阶段的在位者效益是9,第二阶段在位者效益也是9,因为此时u(5)=(1×u)/(1×u+1×(1-u))=u＜1/2,进入者认为在位者是低成本类型,进入者不进入,在位者的总效益是18,大于选择任何其他价格时的效益。因此P=5也是低成本在位者的最优选择。
上述均衡称为混同均衡,因为两个类型在位者选择相同的价格。当u＜1/2的时候,如果进入者不能从在位者的价格中得到新的信息,会选择维持原来的信息u＜1/2,不进入市场。因此,高成本类型在位者可以通过模仿低成本类型在位者的行为来欺骗进入者,隐藏自己是高成本类型的事实,在这种情况下,只需要让在位者维持原来的信息u＜1/2即可,低成本类型的在位者也没有必要披露自己是低成本类型的事实。
当u≥1/2时,如果进入者得不到新的信息,维持原来的信息u≥1/2,此时进入者会进入市场。完美贝叶斯纳什均衡是低成本类型在位者选择P=4的价格,高成本类型在位者选择P=6的价格;如果观测到P=4(u(4)=0),进入者选择不进入;如果观测到P=6或者P=5(u(6)=1,u(5)≥1/2),进入者选择进入。对于低成本类型在位者,如果在位者选择了P=4,此时进入者不进入,那么在位者第一阶段的效益是6,第二阶段的效益是9,总效益是15。
如果在位者选择P=5,那么进入者进入,第一阶段在位者的效益是9,第二阶段在位者的效益是5,总效益是14,因此在位者选择P=4的策略是最优的。如果在位者是高成本类型,此时在位者选择P=4,进入者不进入,那么在位者第一阶段的效益是2,第二阶段的效益是7,总效益是9;如果在位者选择了P=6,那么进入者进入,在位者第一阶段的效益是7,第二阶段的效益是3,总效益是10。因此在位者选择P=6的策略是最优的。给定在位者的策略,u(6)=1和u(4)=0是正确的,因此进入者的最优策略是:如果观测到P=6,选择进入,如果观测到P=4,选择不进入,P=5不是均衡策略,可以规定u(5)≥1/2。
上述策略称为分离均衡,因为不同类型的在位者选择不同的价格。低成本类型在位者选择了非单阶段的最优价格P=4,高成本类型在位者选择了单阶段最优垄断价格P=6。如果低成本类型在位者选择了单阶段垄断价格P=5,那么他将无法将自己与高成本类型在位者分开,此时进入者维持自己的原来信息,进入市场;高成本类型在位者不会选择P=4,因为成本太高,效益无法最大化。
