8.2.2 基本模型——鹰鸽博弈
鸽派和鹰派的博弈论模拟
定义8-2(鹰鸽博弈)
鹰鸽博弈(hawk-dove game)又称为胆小鬼博弈或雪堆博弈(snowdrift game),是博弈论中两个玩家对抗的模型,一个玩家让步对于双方都有好处,而玩家的最佳选择取决于其对手会做什么:如果对手让步,则本方就不应该让步;但如果对手不让步,本方就应该让步。简而言之就是“不要命的最大”。
“胆小鬼博弈”这一名称来源于一种危险的游戏,游戏中两名车手相对驱车而行。如果两人拒绝转弯,任由两车相撞,最终两人都会死于车祸;但如果有一方转弯,而另一方没有,那么转弯的一方会被耻笑为“胆小鬼”(chicken),另一方胜出,因此这个博弈模型在英文中称为“the game of chicken”(懦夫游戏),该术语在政治学和经济学中普遍使用。
“鹰鸽”(hawk-dove)指的是面对同一资源的争夺,竞争者可以选择调和或者对抗的情况,该术语常见于生物学和进化博弈理论。在博弈论中,两种叫法并无实质区别,不同的名称源于不同研究领域基本原则的平行发展〔这种博弈也被用于描述核战争中的相互保证毁灭,特别是古巴导弹危机(图8-7)中的边缘政策〕。
图8-7 古巴导弹危机
模型假设:假设在一个群体中存在两种动物,他们互相争夺价值为V的资源,并采取了以下两种不同策略中的一种。
1.鹰鸽策略
·鹰(H)策略:选择搏斗,全力以赴,孤注一掷,为了赢得胜利不惜身负重伤,仅当自己受伤或者对手撤退时才停止战斗。
·鸽(D)策略:热爱和平,从不战斗,当对手开始战斗时立刻撤退。
假设资源可以是食物、领地、配偶或其他任何有价值的东西,价值为V。基于此,若鹰与鸽相遇,结局必定是鹰抢走了鸽的资源。如果两只鸽相遇,它们会平分资源。而如果两只鹰相遇,它们会大打一番,各自受伤,也平分资源。假设资源为V,损失为C,则双方的收益与损失如表8-2所示。
表8-2 鹰鸽博弈策略收益表
2.假设条件
·假想有一个无限的种群,每一个成员都采取H策略或D策略,且策略的选择是随机的,在开始竞争之前,所有的个体都有同样的适应值W 0。
·设p为整个种群中选择H策略的频率。
鹰鸽博弈,如何选择立场
·W(H)和W(D)分别表示H策略和D策略所带来的适应度。
·E(H,D)表示个体选择H策略而对手选择D策略所带来的回报。
若每一个个体都只参与一个竞争,则有
模型样例:为了更好地说明鹰鸽博弈,我们假设V=6,C=18,那么新的收益表见表8-3。
表8-3 新鹰鸽博弈策略收益表
我们可以简单地想象一下,在这个博弈中,如果一个群体中都是鹰的话,它们会彼此互相残杀,数量迅速减少;如果一个群体中全部都是鸽的话,它们能够和平相处,永远享受3的收益,稳定地存在下去。而如果一个群体中同时存在鹰和鸽的话,最终会发生什么事情呢?我们猜测,最终的解决方法应该是鹰和鸽各占一定的比例共存。
从数学的角度考虑,也就是鹰的期望收益和鸽是相同的,鹰(H)的比例为p,鸽(D)的比例为1-p,则有
即
代入数据可得
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也就是在鹰鸽策略的比例为1∶3时,无论是选择鹰策略还是鸽策略都具有同样的期望收益。
我们假设I是一个稳定的策略,那么该策略应当具有以下的性质:如果种群中几乎所有的个体都采取了I策略,那么这些典型个体的适应度必将高于任何可能出现的突变异种的适应度。
设想存在一个种群,主要由采取了I策略的个体组成,并且伴随着存在极小比例p的采取策略J的异种,那么有
由于I是稳定的策略,那么W(I)＞W(J),又因为p≪1,对所有的J策略≠I策略有
或者
然而当V＜C时,出现两种情况,第一种情况是个体时而采取H策略时而采取D策略,第二种情况是由鹰(H)和鸽(D)构成种群。
贝叶斯博弈之鹰鸽博弈:除了上述的经典鹰鸽博弈模型外,鹰鸽博弈还有基于贝叶斯博弈的版本。假设存在两只鸟,在两只鸟同时看到食物后,它们都拥有争夺和逃跑两个动作选项。但是在选择争夺还是逃跑时,它们并不知道对方的身份是鹰还是鸽子。
以上情况就是一种贝叶斯博弈,可以通过海萨尼转换的方法,计算鹰和鸽在面对一只不知道种类的鸟时,选择争夺策略还是逃跑策略的概率。
假设鸟群中鹰和鸽彼此相遇后双方的收益矩阵如表8-4、表8-5、表8-6所示。
表8-4 鹰鹰相遇收益表
表8-5 鸽鸽相遇收益表
表8-6 鹰鸽相遇收益表
在这里我们假设鹰与鸽相比具有更大的体能消耗,因此哪怕选择逃跑仍然会损耗1个单位的收益。通过上述的收益矩阵,我们可以看出,鸽与鸽相遇时最好争夺以平分食物,鸽与鹰相遇的话最好逃走避免损耗,鹰与鹰相遇也未必要争夺,只不过逃走的一方会遭受更大的代价。
假设鹰进行争夺的概率为u,鸽子参与争夺的概率为v,鹰和鸽在种群中的数目比为p∶1-p。这时候,我们可以将上述问题看作一个不完全信息静态博弈问题,利用海萨尼转换对问题进行求解可得,种群中鹰和鸽的平衡数目比为p=0.5,鹰进行夺食的概率为u=3/4,鸽进行夺食的概率为v=1/2。具体求解步骤如下。
鹰鸽博弈的游戏理论
假设在这个种群中鹰取得最大收益的期望为
鸽子取得最大收益的期望为
种群的平衡应当是在E 1和E 2取最大值时,存在一个p使得E 1=E 2。
对上式进行化简可得
当且仅当u=3/(8p)和v=(1-2up)/(1-p)时,E 1和E 2取得最大值。
将u和v的值代入上式,并令E 1=E 2,求得贝叶斯纳什均衡为p=0.5,u=3/4,v=1/2(事实上,这也是唯一的均衡)。
综上所述,平衡时种群中鹰鸽数量比为1∶1,鹰的夺食概率为3/4,鸽的夺食概率为1/2。在这里鹰的夺食概率要比鸽子大,其原因主要有两个,一是鹰在与鸽竞争的过程中占据绝对优势,能够独享全部收获,二是鹰与鸽相比需要消耗更大的体力,因此不能轻易放弃竞争。
