9.1　具有局部趋势模仿的社会传播动力学

9.1　具有局部趋势模仿的社会传播动力学

1.摘要

社会传播动力学的研究尚未包括普遍存在的局部趋势模仿（LTI）特征的理论分析。本书提出了一个具有帐篷式采纳概率的社会传播型来研究LTI特性对行为传播的影响。同时利用一种基于广义边划分理论描述所提出的模型。通过大量的数值模拟和理论分析，发现在相变过程中存在交叉点：当LTI容纳能力较强时，最后采纳规模的增长表现为二阶相变。当LTI容纳能力较弱时，则是一阶相变。对于给定的行为信息传输概率，存在一个最优的LTI容纳能力，使最终采纳规模最大化。最后，研究发现上述现象并不受异质度分布的定性影响，提出的理论预测与模拟结果相一致。

2.介绍

在网络科学领域，社会传播的研究已经引起了研究者的广泛关注[61，62]，主要集中在行为传播[26]，信息传播[63]和情感传播[64]，研究者对社会传播本质的探索既有理论分析，也有实验验证[64，65]。与生物传染（如流行病传播）[45，66]不同，社会传播具有强化效应[67]。

研究社会传播的早期方法是基于无记忆的马尔可夫过程的阈值模型[68，69]，当已经采纳该行为的邻居比例等于或超过采纳阈值时，该行为被采纳。当初始种子规模微乎其微的时候，可采用渗流理论估计该比例。当采纳阈值固定时，平均度规模的变化导致鞍点分叉[70，71]，最终采纳规模随网络平均度的增大先连续增长然后不连续减少。已有研究发现，在阈值模型中，例如：初始种子数[70]、聚类系数[72]、社区结构[73，74]、多重网络[75]、网络时序性[76]等因素都会影响社会传播过程。

在现实社会传播中，记忆影响行为的采纳和强化。它包括接收到来自邻居的累积行为信息的全部[26]和部分[77]记忆。记忆效应使社会传播具有了非马尔可夫性，因此许多非马尔可夫的社会传播模型被用于描述包含记忆的社会强化效应中[59，77-81]。最近的研究发现，社会强化源于对非冗余信息传递[59，79，80]的记忆，即最终采纳规模依赖于行为信息的传播概率，当动态参数或结构参数改变时，它会从连续变为不连续。

在现实世界中，个体采取新行为的概率可能与已经采取该行为邻居的数量正相关或负相关。例如，一些有时尚意识的人模仿名人的行为和接纳最新时尚，他们也可能会尽力避免已经是过于流行和普遍的任何东西（Leibenstein称之为“势利效应[82]”）。另一个例子是，一个人习惯性地光顾一家具有美食和欢乐氛围的餐厅，但当它变得过于流行和拥挤时，他就会去避免到这家餐厅就餐。这两个例子都显示了局部趋势模拟（LTI）现象[83-85]，即采纳概率首先随着采纳邻居数量的增加而增加，然后降低。Dodds等人利用二元状态模型，发现LTI特征在马尔可夫社会传播中会引发混乱[85]。

图9-1　（a）复杂网络社会传播示例图。（b）从采纳态到易感态的概率λ和采纳态到恢复态变化概率γ的信息传输示例图。（c）帐篷式行为采纳概率。符号b和x 分别表示局部趋势模仿容纳能力和采纳提供信息者的比率。在区域Ⅰ中，采纳概率随x增大而增大，在区域Ⅱ中，采纳概率随x增大而减小。

由于非马尔可夫社会传播的LTI特征还没有被系统地分析，本节提出了一个社会传播模型，利用LTI特征来描述行为传播的动力学。利用帐篷式采纳概率来描述LTI特性。提出基于广义边划分理论进行定量性验证。数值模拟与理论分析结果表明LTI特性对最后的采纳规模有极大的影响。尤其是当LTI容纳能力较强时，系统经历不连续的第一阶相变。当LTI容纳能力较弱时，系统经历一个连续的二阶相变。对于每个传播概率，都有一个最优的LTI容纳能力，使最后的采纳规模最大化。研究还发现度分布的异质性水平不会定性地影响结果。

3.模型描述

为了将LTI特性体现在社会传播中，本节使用了帐篷式函数h（x，b）作为行为采纳概率：

式中，x 是个体接受信息与个体度之间的比率。参数b是个体LTI容纳能力。当0＜x≤b时，图9-1（c）区域Ⅰ，采纳概率随随x 增大而增大，区域Ⅰ是上升区。当b＜x≤1 时，在图9-1（c）区域Ⅱ中，采纳概率随x 增大而减小，区域Ⅱ是衰减区。b 值小增加了LTI的容纳能力，当b值大时，LTI的容纳能力减小[85]。

这里使用通用的易感态—采纳态—恢复态（SAR）模型[59，79，80]来描述在具有N 个节点、度分布为P（k）的复杂网络中的行为传播。图9-1（a）显示了在任何给定时间个体可能处于易感态、采纳态或恢复态。处于易感态的个体不会采纳行为。处于采纳态的个体采纳行为并将其传播给易感态的邻居。处于恢复态的个体对消息失去兴趣，不再传播行为。

首先随机选择一个采纳种子，所有其他个体都处于易感态。在t时刻，每个采纳个体以概率λ传播信息给每个易感态邻居，如图9-1（b）所示。如果易感态邻居接收到信息，那么信息累计单元m 增加1，即m→m+1。当信息通过边传输时，不允许信息沿同一边重新传输，也就是说，由于沿同一边重复传输同一信息不会增强行为的有效性，只允许传输非冗余信息[26]。易感态个体采纳行为的概率为其中k 是易感态个体的度。行为传播过程是非马尔可夫的，因为每一个易感态节点会记住信息累积单元。在同一时间，采纳态个体不再传播信息并以概率γ进入恢复态，如图9-1（b）所示。

4.理论分析

本节所提模型受参考文献[79，86，87]的启发。利用基于广义边划分理论，用数学符号S（t）、A（t）、R（t）来表示处于易感态、采纳态和恢复态在t时刻的个体比例。

为了方便起见，字母u 表示随机选择的个体，v表示随机选择u 的邻居。假设当u 处于空状态[55]时，它从采纳态邻居那里接收行为信息，但不传送信息。θ（t）定义为t时刻随机选择u 的邻居v 沿着随机选择边不传播行为信息给u 的概率。到t时刻，具有k 度的个体u从邻居处接收m 个单元行为信息的概率为

具有k度的个体u 和m 个接收信息的单元以概率保持着易感态。具有k度的个体u 接收m 个信息单元，t时刻仍处于易感态的概率是

考虑到所有可能的度k，计算易感态个体的总比率是

随机选择的个体u 的邻居v 是易感态、采纳态或恢复态，因此θ（t）被分解为

式中，ξS（t）、ξA（t）、ξR（t）表示在空状态下个体u 的邻居分别处于易感态、采纳态或恢复态的概率，因此到t时刻没有经过边传递信息给个体u。

当具有度k′的v 最初是易感态时，它不能向u 传递行为信息，但可以接收除易感态u 以外的v的所有k′-1个邻居的信息，因此可以确定t时刻个体u 的邻居v 收到m 个单位信息的概率是

在考虑m 的所有可能值之后，确定随机选择具有度k′的邻居v 仍然处于易感态的概率是

在不相关网络中，边以概率k′P（k′）/＜k＞连接到度为k′个体，其中＜k＞是平均度值，得到式（9-1-8）

如果采纳态个体通过概率λ的边传递行为信息，θ（t）没有完成定义，θ（t）比例的减少等于λξA（t），即

如果采纳态个体不通过概率为1-λ 的任何边传输行为信息，进入恢复态的概率为γ，ξR（t）值将随之增加。因此可以得到：

利用式（9-1-9）和式（9-1-10），初始条件θ（0）=1，ξR（0）=0，可以得到：

将式（9-1-5）中的ξS（t）、ξA（t）、ξR（t）分别用式（9-1-8）～式（9-1-10）代替，能够得到θ（t）的时间演化为

在每个t时刻，一些易感态个体采纳行为，一些采纳个体进入恢复态。注意A（t）的增长变化等于S（t）的减少减去概率为γ 的采纳态个体进入恢复状态的比例。A（t）的时间演化为

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R（t）的时间演化是

根据LTI用式（9-1-2）～式（9-1-4）和式（9-1-12）～式（9-1-13）来描述社会传播，用来计算任意时刻每个状态的比例。当t→∞时，得到最后采纳规模R（∞）。

注意，当采纳态个体不断地将行为信息传递给邻居时，θ（t）随着时间的变化而减少。式（9-1-17）中有多个稳态固定点时，只有最大稳态固定点有意义。将此值代入式（9-1-2）～式（9-1-4）中，可得到易感态密度S（∞）的稳定值和最终采纳规模R（∞）。

根据数值求解式（9-1-18），发现①对于任何λ 值，它只有两个解，如图9-2（a）所示，或者②对于不同的λ值，它有一个或三个解，如图9-2（b）所示。当①发生时，式（9-1-17）的平凡解为θ（∞）=1，不存在全局行为采纳。当全局行为发生时，式（9-1-17）有非平凡解θ（∞）＜1。在临界点，方程为

图9-2　式（9-1-18）的图解说明。其中，图（a）：b=0.1，图（b）：b=0.9。黑色线代表水平轴，切点由黑色圆点表示

在θ（∞）=1时与水平轴相切，因此，一般社会传播模型的临界条件是

利用式（9-1-19），连续临界信息传播概率可以得出：

其中

根据数值求解式（9-1-17）～式（9-1-20），是给定的采纳概率h（x，b）。这里与采纳概率h（x，b）、恢复态概率γ、度分布P（k）、平均度＜k＞是关联的。

在第二种情况下，式（9-1-17）可以有三个解，并且使用平均网络度[13]会产生鞍点分岔，如图9-2（b）所示，只有最大的解是有效的，因为这个值可以通过计算得到。除此以外，固定点是有效解。改变λ 使R（∞）物理意义的稳定解跳变为一个可变换的值。随λ 的变化，R（∞）出现不连续增长模式，解式（9-1-17）～式（9-1-20）得到临界传输概率在这一点会发生不连续。当b=0.9时，对于不同的λ值，函数g[θ（∞），b，γ，λ]在的位置与水平轴相切。当时，如果式（9-1-17）中有三个固定点，例如：λ=0.7时最大值是解，当时切点是解，当时，例如：λ=0.98，只有一个固定点是式（9-1-17）的解。在处较大值突然降到较小数值，在R（∞）中引起不连续变化。

对于给定的P（k）、λ和γ，使用类似于式（9-1-20）的分析方法，将f（b）=Γ

利用式（9-1-21）和式（9-1-22）得到临界值b的解

从这一理论分析出发，利用非冗余记忆，具有LTI特征的社会传播呈现出一阶相变和二阶相变。

这里，理论解是通过式（9-1-2）～式（9-1-4）和式（9-1-9）～式（9-1-16）得到。由式（9-1-19）、式（9-1-20）和式（9-1-23）得到的b*将参数平面分为两个区域。在区域Ⅰ中，R（∞）呈连续增长并经历二阶相变。与之相反，R（∞）在Ⅱ区表现出不连续的增长并经历一阶相变。理论方法得到的实心白线和数值模拟得到的绿色圆圈都表示区域Ⅰ中的临界理论方法得到的白色虚线和数值模拟得到的绿色矩形表示区域Ⅱ中的临界

5.数值模拟与结果分析

在ER 和SF网络上进行了大量实验，其中网络规模、平均度和恢复概率分别为N=104、＜k＞=10和γ=1.0。本节研究ER 网络上的社会传播，验证了最后采用规模R（∞）是LTI容纳能力b不同值时传输概率λ的函数，当γ=1.0时，图9-3（a）显示式（9-1-17）的双峰分析揭示了LTI容纳能力影响相变类型。当LTI容纳能力强的，例如b=0.1，系统呈现二阶相变，因为较小的b值表示即使在传输速率λ 较低的情况下，提供消息者比率较低也会导致大量行为采纳。当LTI容纳能力较弱时，例如b=0.5或0.9，系统呈现一阶相变，因为较高b值表示提供消息者比率高，传输速率λ 是具有较低传输信息概率的参数不会显著增加易感个体提供信息者的比率。当b值较高时，传输率λ超过临界点，并且有大量的信息被个体接收。易感个体提供信息的比率迅速增加，行为采纳急剧增加。

利用式（9-1-17）～式（9-1-19）计算了的理论值。为了定位数值临界点，检查图9-3（b）所示的R（∞）的相对方差νR。本节设计了相对方差νR，以确定规模依赖临界值R（∞）[88]的相对方差定义如下：

式中，＜…＞是集合平均值。当一个动力学参数是可变的，νR值代表R（∞）峰值（指相变），对应不同λ 和b 值下的最大νR值。

理论结果与仿真结果一致，但当λ接近临界信息传输概率时除外。预测和模拟之间的偏差是由网络的有限规模作用和邻域状态间较强的动力学相关性引起的。

图9-3　任意λ下不同动态参数b 的影响图例。其中，b是LTI的容纳能力参数。图（a）显示了不同b值下，最终采纳规模的增长方式，从在b值较小时（b=0.1）的连续到b值较大时（b=0.5）的不连续，体现了二阶相变和一阶相变。图（b）中，νR数字化的展示了R（∞）的波动，直观地展示临界达到峰值的反应，峰值比较高时R（∞）的不连续有更多的突变（b=0.1，0.5，0.9）

图9-4显示了不同λ值R（∞）受值影响b的分析，给定λ值、R（∞）随b非单调的改变。开始时R（∞）随b的增加而增加，然后不连续的减少直到零值。因此有一个最优的b0值，在这一点R（∞）达到最大值。考虑到λ，当b小于最优值时，LTI的容纳能力最强，许多易感态邻居变成采纳态，R（∞）稳定地增加。当b 增加时，LTI的容纳能力减小，几乎不能传递消息给邻居，但是R（∞）继续增加直到b超过最优b 值。在最优b值点，信息通告过程达到平衡，R（∞）达到最大值。当b增加超过最优b 值时，LTI容纳能力和信息通告的能力减小，被通告的邻居数量不足以支撑更远的信息传播，R（∞）逐渐下降直到零为止。图9-4（b）显示通过νR可以确定临界点的位置，理论计算结果与数值模拟结果一致。

图9-5显示了相变平面（λ，b）上的R（∞）。根据相变类型，参数平面（λ，b）被b的临界值b*=0.237分成两个区域，利用式（9-1-18）和式（9-1-20）可得。在区域Ⅰ，即（b＜b*），R（∞）持续增加，并呈现二阶相变。在区域Ⅱ，即（b＞b*），R（∞）随λ不连续增加，并呈现一阶相变。相变中存在一个交叉点。数值模拟与理论解相一致。

图9-6显示了度分布异质性对社会传播的影响。这里将重点放在具有不同度指数v的SF网络上，将平均度和网络规模分别设置为＜k＞=10，N=104。图9-6（a），图9-6（b）显示当b=0.2和b=0.5时，度分布的异质性不改变相变类型。

图9-6（a）表明，当b=0.2，v从2.1上升到4时，R（∞）的增加是从不连续的一阶相变到连续的二阶相变的变化。与图9-6（b）对比，当b=0.5时，R（∞）在任何v 值下都增加并表现出相同的一阶相变模式，并且在临界点，当v=2.1、3 和4 时存在高跳变。图9-6（c）～图9-6（e）显示，当v=2.1、3和4时，增加b也会改变R（∞）从二阶相变到一阶相变的R（∞）的增长模式，但最后采纳规模随v 增加，即异质度分布不妨碍相变的变化。图9-6（f）～图9-6（h）显示当v=2.1、3和4时，传输概率λ影响R（∞）的最终范围，当v值较高时个体数量增加。对于三个变量和每个λ下的最优LTI容纳能力参数b，出现最大R（∞），即使较高的v值促进行为信息的广泛传播，bⅡc的临界LTI容纳能力点也会缩减R（∞）降为零。异质性度分布总是导致相变如图9-6（c）～图9-6（e）所示，最优和临界LTI容纳能力参数如图9-6（f）～图9-6（h）所示。此外，理论解（虚线）与图9-6的所有子图中的数值（符号）一致。

图9-4　任意b值下不同动态参数λ 的影响图例。其中λ是行为传播概率，b是LTI的容纳能力参数。图（a）显示了不同λ值下，R（∞）随b的变化方式为先增加后减少，最终R（∞）消失为零。图（b）中在临界点R（∞）消失，这里引入VR参数。此外，VR线的峰值对应于临界点，并且峰值越高，跳回零值的曲线越尖锐

图9-5　ER 网络上最终采纳规模R（∞）对b和λ 对的依赖性演示图。通过图（a）中的数值模拟和图（b）中的理论解得到R（∞）的彩色编码值

图9-6　网络异质性在社会传播动力学的影响图。对于无标度网络，平均度＜k＞=10，网络规模N=10 000，研究R（∞）对参数变量b、v、λ的依赖性。子图（a）和（b）分别证明了在b=0.2和b=0.5时，独立度指数v对R（∞）的影响。子图（c～e）显示了b对R（∞）的影响结果，度指数v=2.1、3和4。此外，为了更严谨，子图（f～h）基于不同的传输概率λ，分别在v=2.1、3和4下显示R（∞）的变化。正如预期的那样，用虚线表示理论解与用符号表示的数值完全吻合。

6.结论

局部趋势模仿（LTI）现象是一种普遍存在的现象，对社会传播动力学有较强的影响。本节提出了一个社会传播模型，使用帐篷式的采纳函数来系统地研究LTI的作用。使用基于边划分理论来描述模型，发现理论预测与数值模拟结果一致。在ER 网络进行了大量的数值模拟。发现当LTI容纳能力较弱时，最终采纳规模不连续地增长，即系统呈现一阶变相，但当LTI容纳能力强时，最终行为采纳规模持续增长，即系统呈现二阶相变。在相变类型中存在交叉点。对于给定的信息传输概率，存在一个最优的LTI容纳能力，在该容纳能力下，最终采纳规模明显增加。实验发现度异质性并不能定性地改变这些现象。