9.2　社会传染动力学中的最优模仿能力和交叉现象

9.2　社会传染动力学中的最优模仿能力和交叉现象

1.摘要

在具有非冗余记忆的社会传染阈值模型中，研究人员忽略了对有限模仿（LI）效应即个人只在一定比例内模仿他采纳人的行为的调查。为了理解这样的（LI）效应，本节提出了一个由“开”和“关”阈值组成的具有门型采纳概率的社会传染模型。通过大量的数值模拟，可以发现，在给定信息传输概率和门宽（“关”阈值减去“开”阈值）的情况下，存在具有最佳“开”阈值的最佳仿制能力，从而使最终采用规模最大化。并且较大的“关”阈值用于在给定的“开”阈值下进一步扩大最终采用规模。此外，还发现了相变中的交叉现象：“开”阈值的增加导致最终行为采用大小的增长模式相对于信息传输概率从二阶相变到一阶相变的变化。这里最终发现，上述现象在性质上不受程度分布异质性水平的影响。最后，提出了一种基于边缘的划分理论，用于理论分析。所提出的理论与仿真结果吻合较好。

2.介绍

如今，由于对社会网络的研究有显著意义，越来越多的研究者在网络科学领域为社会传染做出了巨大贡献[62，89]。与流行病传播[2，90-94]不同，社会传染具有明显的强化特征[95]。描述社会传染强化的一种有效方法是阈值模型[69，73，97～99]，该模型假设当采用的邻居的数量或分数超过采用阈值时，个人将采用信息或行为。在探索社会传染的过程中，人们致力于研究行为传播[26，100]、信息传播[101，102]、影响传播[103]和情绪传染[104]，从理论和实验上揭示了社会传染的本质[65，104]。特别是，行为传播吸引了更多的关注，并被广泛地建模为一个平凡的马尔可夫过程。大量的数值模拟和理论分析发现，社会强化效应可以改变社会传染病的相变[10，96]。特别是，最终的采用规模首先持续增长，然后与平均程度相比不连续下降。近年来，许多非马尔可夫模型被人提出来描述另一种新颖的社会强化效应[59，77～81，105～110]。Wang等人提出了一种新的社会强化模型，该模型起源于非冗余信息传输的记忆[79]，这意味着信息在成功传输后不允许沿同一边缘重新传输给邻居。在这种情况下，最终采用尺寸的增长取决于行为信息的传输概率，当动态或结构参数改变时，最终采用尺寸从连续变化到不连续变化。

事实上，一个人是否会采取积极或消极的行为取决于已经采取这种行为的邻居的数量。例如，一个精明的商人会模仿先兆成功者，在很少有商业参与者的情况下，投资稀缺的业务来赚取大量利润，并且有大量追随者从事同一项业务时，放弃无收益的业务（莱本斯坦称之为“势利效应”[111]）。另一个例子是，当一个人习惯性地光顾一个有着良好运动和欢乐气氛的公园，但当它变得过于流行和拥挤时，就不去了。这两个例子都体现了有限模仿（LI）效应[112-114]，即一个个体在被采纳的信息者的临界数量或分数处采用概率为1的行为，并且在数量或分数增加一定后放弃行为。与LI效应不同的是，少数博弈中的EI-Farol问题假设代理人即使在全球范围内没有采用者也会采取行为，只有当采用的分数超过临界点时才会放弃行为，这明显影响了全球合作的出现[115-118]。LI效应和EI-Farol问题的采纳概率都与邻近地区的采纳人数（或在整个人口中）有非齐次增长。有研究[114]表明，从稳态到混沌，受感染人群的极限行为有显著变化。

然而，在非冗余记忆方面，LI效应缺乏系统的研究。为此，本节提出了一个利用非马尔可夫性质来描述具有LI效应的行为传播动力学的社会传染模型。本节（基于LI效应）建立了一个考虑非冗余记忆的社会强化的社会传染动力学随机模型。在这个模型中，信息表示行为信息。非冗余存储器包括两个属性：（1）非冗余信息传输，即在成功传输后不允许沿同一边缘重新传输信息；（2）每个易受影响的个体都能记住该个体从其邻居处接收到的非冗余信息的累积片段，导致非马尔可夫传染过程。为了恰当地描述LI特征，本节提出了一个类似门的采用概率，涉及两个关键因素：“开”和“关”阈值，这两个阈值表示行为采纳的起始点和截止点，与邻居中被采纳的提供消息者的比率有关。此外，本书开发了一个基于边缘的定性验证比较理论。数值模拟和理论分析表明，LI效应显著影响最终的采用规模。具体而言，在给定信息传输概率的情况下，存在一个“开”阈值的最佳模拟容量，以最大化最终采用规模，并且，在固定“开”阈值的情况下，更大的“关”阈值将更多地增加最终采用规模。此外，模拟容量与信息传输概率的变化导致最终采用大小的交叉现象，即提高模拟容量（对应于“开”阈值的增加）导致最终采用大小从二阶连续性到一阶的相变不连续性，其中发生分叉。重要的是，通过进一步的调查，上述发现在质量上不受学位分布异质性水平的影响。

3.模型描述

为了研究社会传染中的LI效应，本节适当地利用广义易感恢复（SAR）模型[79]来描述具有N 个节点和一个度分布P（k）的复杂网络中的行为传播，其中节点代表种群个体，传播过程只发生在连接的相邻节点之间。在每个时间步骤中，每个个体都处于易感（S）、被采纳（A）或恢复（R）状态。处于易感状态的个体无论是否收到信息，都没有采取该行为；处于易感状态的个体接受该行为，并将该信息传递给易感个体；处于恢复状态的个体放弃该行为，拒绝再次传递该信息。

为了描述社会传染中的LI效应，本节设想了一个类似于门的采用概率分布函数h（x，α，Δ），如图9-7所示，定义如下：

式中，x∈[0，1]表示所采用的消息提供者与单个邻居的比率，α和Δ 分别表示“开”阈值和门宽度。此外关闭阈值β=α+Δ。图9-7显示了h（x，α，Δ）函数。在图9-7中，参数α表示“开”阈值，采用行为概率为1。参数β表示“关闭”阈值，在此阈值之后被采纳的通知者的比例将反过来导致对行为的拒绝。小α意味着当个体只从被采纳的邻居那里获得少量信息时，他会更容易地采取这种行为，反之亦然。较大β可以保持个体在采取行为上的一致性，即使有较大比例的被采纳的信息提供者。当给定α时，较大的Δ 意味着较大的β。参数Δ 可以帮助读者了解从“开”阈值到“关”阈值的公差如何影响最终采用大小。

图9-7　类门行为采用概率h（x，α，Δ）示例图。其中，x 表示邻居中被采纳信息者的分数，Δ 代表被采纳的信息提供者的分数，α表示“开”阈值，之后将采用概率为1的行为。参数β表示“关”阈值，在此阈值之后，被采纳的告知者的分数将导致对行为的拒绝。此外，Δ=β-α它表示门宽度，其值越大，表示行为采用将更多地存在于提供信息者中

具有非冗余记忆和社会强化的行为传播过程是：

（1）将初始种子分数表示为ρ0。其余节点保持易受影响状态。

（2）更新个人状态利用同步更新方法[90]。在每个时间步，每个被采用的个体将通过传输概率λ将信息独立地传输到其每个易受影响的邻居。一旦信息成功地传送到邻居，该邻居接收到的信息的累计数m 将加1，即m→m+1。在模型中，沿着相同的边缘，重新传输相同的信息不会增加行为的可信度和合法性。因此，对于非冗余存储器，已经成功地发送了信息的边缘将不再发送相同的信息。

（3）在时间步t，如果易感个体的程度为k，并且他在时间t已从不同的邻居接收到m 条信息，则易感个体采用相对行为的概率为h（m/k，α，Δ）（参考方程（9-2-1））。只有当分数m/k∈[α，β）时，才会被采用。同时，每一个被采纳信息的人将拒绝再次传递信息，以概率γ进入恢复状态。

（4）传播将一直重复，直到没有剩下被采纳信息的人。

4.数值模拟与结果分析

在数值模拟中，分别应用（ER）[119]和不相关无标度配置（SF）[115]随机网络研究了网络规模N=104和平均度数＜k＞=10的行为扩展过程。通过大量的数值模拟，可以发现γ对这一现象没有质的影响。因此，在主文本中设置了γ=1.0。用数值方法引入相对方差来确定尺寸相关的临界值如下：

式中，＜…＞表示集合平均。vR的值表示动态参数变化时R（∞）在临界点处的峰值（表示相变）。我们知道在不同的λ值下，临界点对应于最大值vR。

从ER 网络的研究开始，本节研究了图9-8中LI效应下行为扩散的时间演化，其中λ=0.8，α=0.1，Δ=0.2。图9-8（a）分别显示了敏感状态S（t）、采用状态A（t）和恢复状态R（t）下节点密度的时间演化。具体来说，敏感（恢复）节点的密度随时间而减小（增大），在稳定时间达到一定值。采用的密度最初增加，并在时间步9达到峰值。

此外，本节还分析了新采用个体的平均程度随时间的变化。下面把注意力集中在所采用的状态的改变上，并观察图9-8（b）中每一个时间步，新采用节点平均度[45]如下：

图9-8　λ=0.8，α=0.1，Δ=0.2的ER 网络中以LI效应为特征的时间演化示例图。这里网络大小N=104，平均度＜k＞=10，接种概率γ=1.0，种子率ρ0=1/N。（a）三种状态的时间演化，易感态S（t）、采用态A（t）、恢复态R（t）。（b）时间t时新采用的节点的平均度[16]。这里，左下角和右上角的插入分别表示在时刻2和时刻9处采用的节点的度分布。（c）反向参与率[16]。（d）～（f）在时刻1、2和9的三种状态下的节点时间演化快照，敏感节点为绿色，采用的节点为红色，恢复的节点为黄色节点

这里，Ik（t）和I（t）分别表示在时间t时，在k 度类和所有度类中采用的节点的数目，此外，在这里还关心图9-8（c）中每一个时间步的逆参与比率[16]

从以上两个指标，可以发现行为扩散呈现层次特征。综上所述，采用首先存在于较大度的类，然后逐步影响较低度的类，最后导致侵入节点数较多的最低度的类，从而展现出较大权重。

具体地说，在时间步骤1，唯一随机选择的种子保持在10对应于ER 网络的平均度，因为个体将只有当他们收到一条信息时才采取这种行为。从时间步2，＜kA（t）＞先缓慢增加，然后达到峰值，然后降低，直到最后的时间步。我们在典型的时间步2和时间步9放大这个过程，并显示采用节点的度分布。可以发现在传播初采用的节点度较小，甚至小于网络平均度10。当相邻节点采用变为多个，一些度更大的节点有机会接受这种行为。在中心节点采用这种行为之后，剩下的很小度的敏感节点可以联系行为信息和继续采用该行为。以上在图9-8（c）中也可以检测到分层扩展现象。

此外，图9-8（d）～图9-8（f）相应地提供了LI效应下时间演化的快照。这里可以清楚地看到，在时间步1，在图9-8（d）中只有一个种子，然后在图9-8（e）的时间步2中，种子周围的几个易受感染的节点变为采纳态，种子进入恢复状态，在图9-8（f）的时间步9中，许多节点被采用并被恢复，很少数节点仍然处于易感状态。

除了时间演化之外，本节还进一步研究了LI效应下最终采用尺寸R（∞）对λ 的相变，并在图9-9中展示了结果。符号和虚线分别表示数值模拟和理论解。当“开启”阈值α非常小时，如图9-9（a）中的0.06以及图9-9（b），最终采用尺寸R（∞）随着λ 的增加而不断增加，这意味着系统中的二阶相变随着α 的增加而增加，例如0.1。在图9-9（c）和图9-9（d）中，作为一阶相变，最终采用尺寸R（∞）随着λ的增加而不连续地增加。相变转变这里称为交叉现象[120]，可通过将图9-9（a）～图9-9（c）或图9-9（b）～图9-9（d）与差α进行对比来进一步强调。此外，数值模拟也表明理论解很好。

图9-9　LI效应的“开启”阈值α触发的最终采用规模R（∞）与λ的交叉相变演示图。其中，变化与ER 网络中的α=0.06，0.1和Δ=0.06，0.2有关。这里网络大小N=104，平均度数＜k＞=10，γ=1，种子分数ρ0=1/N。符号和虚线表示数值模拟和理论解。图（a）～（d）R（∞）与λ的交叉相变，对应于圆形符号。图（e）～（h）亚临界状态下的个体与λ之比Φ（kα -1，∞），对应上三角符号。图（i）～（l）相对方差vR对λ，对应于实线

为了直观地理解当λ通过一个临界点时R（∞）的突然增加，本节将重点放在处于亚临界状态的个体上。在这种状态下，一个度为k 的个体接收到m 条信息，其中恰好有一条小于采用阈值，即m=kα-1 ，并且尚未采用该行为。在同时，u 也从他的邻居那里得到了信息，但不是邻居v。现在假设v已经采用了该行为并成功地将信息传输给u，从而导致u 采用该行为。反过来，u 将信息传输给他的易感邻居，概率为λ。因此，一些处于亚临界状态的邻居采用了这种行为。这个过程将逐步重复，累积导致大量的行为被采纳。如果亚临界状态的个体数量相当大，被采纳个体数量略有增加，例如通过稍微提高λ，可能会导致突然出现大量亚临界个体采取这种行为，导致R（∞）值出现不连续的“跳跃”。

图9-9（e）～图9-9（h）中的数值模拟和理论解进一步证明了上述直观解释。亚临界Φ（∞）曲线的峰值临界概率只指向R（∞）的临界“跳跃”点。值得注意的是，图9-9（e）和图9-9（f）中的峰值远小于图9-9（g）和图9-9（h），这意味着图9-9（e）和图9-9（f）中亚临界个体的数量小于图9-9（g）和图9-9（h）。亚临界个体数量的巨大差异导致了相变从连续到不连续的交叉现象。

临界点可以通过图9-9（i）～图9-9（l）中的相对方差vR进行数值计算。根据方程（9-2-2），可以得到vR曲线对λ 和峰值正好对应于临界点图9-9（i）～图9-9（l）中的与图9-9（e）和图9-9（f）中的相应峰值非常吻合。

在图9-10中，探讨了种子分数ρ0对最终采用大小R（∞）与扩展概率λ 的影响。可以发现，R（∞）随ρ0而增加。重要的是，要注意到，对于较大的值ρ0，R（∞）随λ不断增加。本节的理论能够很好地预测上述现象。

图9-10　最终采纳规模R（∞）与λ的相关性图。其中，ρ0=0.1，四个仿真图选择的α与Δ 不同。这里网络大小N=104，平均度数＜k＞=10，γ=1。符号和虚线分别表示数值模拟和理论解

在图9-11中，进一步研究了α对R（∞）的影响。可以发现，对于给定的Δ，总是存在一个最大化最终采用大小R（∞）的最优α（参见子图中的峰值）。本节把LI效应下的最优α现象称为最优模仿能力。因为网络结构是固定的，当“开”阈值α很小，很多邻居k值较小的个体在接收到m 条信息后很容易采取这种行为，但是许多邻居k值相对较大的个体会放弃这种行为，因为给定的门宽度Δ 相应地产生一个较小的“关”阈值。此外，增加α相当于将采用窗口向右移，增大了“关”阈值β，导致一些邻居较少的个体无法采用。同时时间一长，其他一些邻居数量较多的个体就会满足采取这种行为的条件。如果新满足的个体数量超过失去机会的个体数量，最终采用规模R（∞）将继续增加，直到变异达到平衡。此时，R（∞）达到峰值，α达到最优。然后继续增加α将导致失去机会的个体比新满足的个体更多。因此，R（∞）持续下降。此外，在某个α，当所有个体都失去采取该行为的机会时，R（∞）的突然“下降”将直接发生在0值上。此外，通过图9-11（a）～图9-11（c）之间的比较，还可以发现，给定α，较大的Δ 可以增大最终采用尺寸R（∞），这也有在图9-12 中展示。

图9-11　最终采用规模R（∞）对“开”阈值α的依赖性示例图。其中，涉及λ=0.1，0.2，0.5和Δ=0.06，0.1，0.8，显示出的特征是ER 网络中的LI效应。这里网络大小N=104，平均度数＜k＞=10，γ=1，种子分数ρ0=1/N。符号和虚线表示数字模拟和理论解

在图9-12中，注意到基于λ=0.1，0.2，0.5和α=0.01，0.06，0.09的组合，R（∞）对栅极宽度Δ 的依赖性。这里可以发现，对于给定的α，增大Δ 可以增大最终采用大小R（∞）。原因是：当给定α时，增大Δ 将增加“关闭”阈值，使得越来越多的邻居k 个数不同的个体在接收到m 条信息时满足了采用率，同时，丢失或放弃采用机会的个体也越来越少。当所有个体都满足采用条件时，在一定的Δ 下，最终的收养规模R（∞）将达到最大值，并保持不变直到最后。通过图9-12（a）～图9-12（c）的水平比较，可以发现增加α整体上降低了R（∞），特别是当λ很小时，如图9-12（c）所示。在这个时候，更多的人采用比例不够，不能满足采用条件。因此，较小的传输概率导致信息传输更加困难，并使上述情况恶化，显示出与图9-11一致的现象。

图9-12　最终采用规模R（∞）对门宽度Δ 的依赖关系演示图。涉及λ=0.1，0.2，0.5和α=0.01，0.06，0.09，其特征是ER 网络中的LI效应。这里网络大小N=104，平均度数＜k＞=10，γ=1，种子分数ρ0=1/N。符号和虚线表示数字模拟和理论解。

除了对ER 网络的研究之外，还研究了SF网络中的LI效应，网络规模N=104，平均度＜k＞=10。最小度为4，最大度数为是100。根据文献[43]中的方法，利用幂律度分布P（k）～k-v（v为度指数）生成不相关网络。在LI效应下，个体只有在成功地接收到m=kα 条信息时才会采取这种行为，k和α 表示邻居的数量和“开”阈值。在SF 网络中，小的v 表示度分布的异质性水平大，反之亦然。在图9-13中，提供了R（∞）曲线与λ的关系，以揭示度分布异质性水平的影响，以不同度指数v=2.1，3和4表示。可以发现，增加网络结构的异质性（通过减小指数v的值将不会影响相变的交叉现象。详细地讲，当“开”阈值非常小时，例如图9-13（a）和图9-13（b）中的α=0.01，而Δ=0.05和0.5，无论指数度v是多少，R（∞）与λ始终呈现连续二阶相变。当“开”阈值变大时，例如图9-13（c）和图9-13（d）中的α=0.1，对应于Δ=0.05和0.5，R（∞）与λ仍然呈现不连续的一阶相变，而与v无关。定性解释如下：给定门宽Δ 和较小的“开”阈值α，当扩展概率λ 小时，在LI效应下，只有邻居数量少（即k度较小）的个体才能轻松接收足够的碎片行为信息，从而采用行为。随着λ 的增加，许多邻居更多的人也逐渐变得容易接受足够的碎片信息，然后采取行为。在这种情况下，几乎没有处于亚临界状态的个体会被累积并立即采取这种行为。因此，对于较小的v 值，R（∞）与λ呈现连续的一阶相变。相反，给定门宽度Δ 和较大的“开”阈值α，对于相同的度数k，满足m=kα 条信息的采用条件变得更加困难。此时，小的λ 将加剧采用的难度。随着λ 的增加，由于较大的“开”阈值α，越来越多的人进入亚临界状态，但没有采取这种行为。在某个λ处，大量累积的个体立即突然采取该行为，从而导致R（∞）突然“跳跃”，并带来了不连续的二阶相变。简而言之，在LI效应下，对应于v的度数分布的异质性仅影响R（∞）的大小，而不影响相变的模式。

5.理论分析

为了揭示本质，继续提供理论分析，以解释LI效应下的行为扩展。基于[59，79，86，87]提出了一个广义的基于边缘的划分理论。为方便起见，将数学符号S（t）、A（t）和R（t）定义为在时间步长t处于易感，已采用和已恢复状态的个体分数。特别地，当t→∞时，R（∞）表示稳态。

图9-13　SF网络上R（∞）对λ的依赖性示例图。其中，指数v=2.1，3，4，（a）：α=0.01，Δ=0.05；（b）：α=0.01，Δ=0.5；（c）：α=0.1，Δ=0.05；（d）α=0.1，Δ=0.5。这里网络大小N=104，平均度数＜k＞=10，γ=1，种子分数ρ0=1/N。最小度为4，最大度数为是100。符号和虚线分别表示数值模拟和理论解。

假设单个u 处于空腔状态[55]，它可以接收来自被采纳邻居的消息，但无法将信息传播到邻居。将θ（t）定义为个体v到时间t尚未将行为信息传递给个体u 和随机选择的边沿的概率。因此，到时间t，一个度为k的节点u 已经从不同邻居那里接收了m 条信息的概率为

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具有k度的个体u 接收到m 条信息但保持易受影响的概率是此外，可以得到这样的概率，即到时间t时，个体u 仍然处于易受影响的状态，如：

遍历所有可能的度数k，可以获得易感个体占比的整体比率：

式中，P（k）是度分布。

类似地，在时间t拥有m 条信息的个体的比例为

由于个体u 的邻居v 可能保持易感，已采用或已恢复状态，因此θ（t）可以表示为

式中，ξS（t）[ξA（t），ξR（t）]是个体u 的邻居v 处于易感（已采用、已恢复）状态且在时间t之前未向u 提供行为信息的概率。

刚开始，具有度数k′的个体v 处于易感状态，并且无法向u 传输行为信息。个体v可以从其他k′-1个邻居（除了易受影响的u）接收信息。因此，个体v在时间t之前已经以以下概率接收到m 个信息单元：

在m 的所有可能值下，度为k′的个体v 仍然处于易感状态的概率为

在不相关的网络中，一个边缘将概率为k′P（k′）/＜k＞的度为k′的个体连接起来，其中＜k＞为平均度，可以得到

如果处于采用状态的个人以概率λ 通过一条边传输行为信息，则θ（t）将减少分数λξA（t），即

如果采用状态的个人没有通过任何边缘传输行为信息（概率为1-λ），而是以概率为γ进入恢复状态，则ξR（t）将因此增加分数

使用式（9-2-13）和式（9-2-14），并且初始条件θ（0）=1和ξR（0）=0，可以得到：

把式（9-2-9）的ξS（t）、ξA（t）和ξR（t）代入到式（9-2-12）、式（9-2-13）和式（9-2-15），可以得到θ（t）的时间演化为

在每个时间步t，一些易感状态的个体采取该行为，而某些被采纳的个体进入恢复状态。注意，A（t）的增长等于S（t）的减少减去概率为γ 进入恢复状态的被采纳个体的比例。因此，A（t）的时间演化为

R（t）的时间演化为

式（9-2-5）～式（9-2-7），式（9-2-16）和式（9-2-17）描述了LI效应的社会传染，并可以在任意时间步长确定每种状态的比例。当t→∞时，可以找到最终采用大小R（∞）。

在最终状态下，可以发现：

注意，当被采纳的个体不断向邻居发送行为信息时，θ（t）随t减小。因此，如果式（9-2-19）中有多个稳定的固定点，仅最稳定的固定点在物理上有意义。将此值插入方程式（9-2-5）和式（9-2-7）给出易感密度S（∞）的稳态值和最终行为采用大小R（∞）。

在临界点，等式

与水平轴线在θ（∞）=1相切。因此，一般社会传染模型的临界条件满足：

从式（9-2-21）中，连续临界信息的传输概率可以达到

式中：

从式（9-2-21）中，可以获得临界条件。由于最初会随机选择一小部分消失的种子，并且所有个体都符合一致的采用概率分布h（x，α，Δ），因此式（9-2-19）具有一个无效解θ（∞）=1。在临界点，函数g（θ，α，Δ，γ，λ）在θ（∞）=1处与水平轴相切。对于αk＜1和kα =0，利用式（9-2-19）～式（9-2-22），可以得出连续临界传输概率为

其表现形式与流行病暴发阈值之一相同。当αk≥1且kα ＞0时，函数g（θ，α，Δ，γ，λ）永远不会与水平轴相切，这意味着一小部分初始种子不可能诱导一小部分个体采取这种行为。

这里主要关注非冗余存储下的LI效应如何影响R（∞）对传输概率λ的依赖性，这可以通过式（9-2-19）的根情况来阐明。数值解式（9-2-19）～式（9-2-22），可以发现与采用概率h（x，α，Δ）、恢复概率γ、度分布P（k）和平均度＜k＞相关。当给定除λ 以外的所有参数时，可以更轻松地分析依赖性。如果式（9-2-19）对于λ的不同值只有两个根，如图9-14（a）当α=0.06，Δ=0.2时，方程的无效解是θ（∞）=1，并且没有全局采用行为。R（∞）将持续增加。

图9-14　式（9-2-20）的图形解演示。（a）中α=0.06，Δ=0.2和（b）中的α=0.1，Δ=0.2。水平轴为黑色，切点表示为黑点

在第二种情况下，如果式（9-2-19）的根数由λ 决定，将出现三个根，并且只有最大解有效，从而显示鞍形节点分叉[121]，如图9-14（b）所示。式（9-2-19）具有意义的解θ（∞）＜1。改变λ会引起θ（∞）跳转到其他值。R（∞）的不连续增长模式与λ一起出现。在图中9-14（b）当α=0.1时，对于不同的λ值，函数g（θ，α，Δ，γ，λ）与水平轴在相切。当时，如果在式（9-2-19）中有三个固定点，例如λ=0.24，最大的是解。当时，切点为解。当时，例如λ=0.22，唯一的固定点是式（9-2-19）的解，在处从一个大值突然降到一个小值并导致R（∞）的不连续变化。

此外，为了与数值模拟进行比较，基于上述基于边的分隔理论和理论方程式，本节计算了理论解，同时在图9-13中绘制了理论曲线，相应地。可以发现理论解（以虚线表示）与数值模拟（以符号表示）非常吻合。

6.结论

在本节中，基于具有非冗余记忆的社会传染模型，研究了一个有趣的LI效应，其中个体将通过模仿邻居中被采纳的告知者采取行为，直到他们失去了继续采纳的动力。相应地，本节提出了一个类门的采用概率分布，该分布由“开”和“关”阈值组成，以匹配LI效应。此外，为便于研究，本节进一步引入了门宽度变量，该变量等于“关”阈值减去“开”阈值。此外，以非马尔可夫模型为基础，以社会强化的方式新颖地探索了这种方法。

通过广泛的数值模拟，从不同方面分析了上述内容。本节首先研究行为在LI效应中扩散的时间演化过程，并指出从小度节点到大度节点（尤其是核心节点）的分层采用，然后到最小度的大量节点。此外，本节关注最终采用大小对传输概率，“开”阈值和门宽度（间接表示“关”阈值）的依赖性。可以发现，“开”阈值的小值和大值分别导致最终采用大小与传输概率的连续一阶和不连续二阶相变。当注意对“开”阈值的依赖性，给定的门宽度和更改“开”阈值的值时，存在一个最佳的“开”阈值，该阈值将最终采用的尺寸最大化。一般称这种现象为LI效应中的最佳模仿能力。同时，可以发现较大的门宽可以扩大最终采用的尺寸。最后，本节定性地发现上述现象不受等级分布的不同层次的影响。

为了定量分析LI效应的本质，本节提出了一种基于边的分隔理论，在此基础上，建立了时间演化规则，并基于对函数根的分析，揭示了交叉相变的内在机理。本节还提供了与数值模拟进行比较的理论解决方案。通常情况下，数值模拟和理论分析非常吻合。

此外，关于LI效应的发展研究可以帮助更好地理解社会行为信息的传播，例如用户购买行为的传播，以帮助产品营销，新时尚预测，新技术推荐。需要研究模型上网络结构的影响，例如聚类系数、程度相关性、社区结构、多路复用网络结构和时态网络结构。本节的结果扩大了对相变现象的理解，并可能为传播动力学提供新的见解。在当今的大数据时代，存在许多与社会蔓延相关的挑战性问题，需要解决。例如，使用真实数据来验证本节提议的社会传染力的有效度。本节的模型可能有助于研究一般的少数者博弈问题。