2.2　共轭梯度算法

建立在最小二乘法基础上的最优化方法为大多数反问题的计算提出了统一的框架。与频率域-慢度域波形反演相似［17］，截距时间-慢度域波形反演可通过观测波形数据与计算波形数据的极小化，用局部非线性优化方法（共轭梯度法）迭代修改模型完成。截距时间-慢度域正演问题可以简化表示为

d=f（m），

其中，d为数据向量，即τ-p域计算波场；m为模型向量，用等厚度的水平层状介质描述地下模型，模型参数即为各层的弹性参数；如果反演中保持横波速度、密度不变，则模型参数为纵波速度；m0为先验模型，即初始的弹性参数值；dobs为τ-p域观测值。最小二乘意义下的目标函数为

其中，为数据协方差矩阵，CM为模型协方差矩阵。

非线性迭代反演就是寻找模型使目标泛函极小。在梯度的导引下求得目标函数的极小值，有了梯度，可以利用最优化技术中的很多方法求解，如最速下降法、拟牛顿法、变尺度法、共轭梯度法等。共轭梯度迭代法步骤［17］如下：

（1）由第n次迭代得到的模型mn计算合成数据

dn=f（mn），n=0，1，2，…；

（2）计算合成数据与观测值的差值

Δdn=dn-dobs

及当前模型与先验模型的差Δmn=mn-m0；(https://www.daowen.com)

（3）计算目标函数值

并检验它是否满足终止条件；

（4）计算最速上升方向（梯度）

其中，Fn=∂f/∂m|m=mn为Frechet导数，可以解析求得。为程序编制方便，我们采用了数值解。最速上升方向（梯度）的计算式中取掉第2项，即不考虑先验模型在梯度计算中的影响，这是可取的，本文计算中采用了这一方案。

（5）计算共轭方向

（6）计算使目标函数极小的最佳步长μn；

（7）计算新的模型　　　　　mn+1=mn-μnΦn。