8.1.1　平稳过程的概念

8.1.1　平稳过程的概念

首先回顾一下平稳过程的基本概念.

定义8.1.1如果二阶矩过程{X(t),t∈T}满足:

(1)对任意的t∈T,E[X(t)]=μX(常数);

与n无关,可见{Xn}为平稳过程.

在实际问题中,我们常称{Xn}为白噪声过程.

例8.1.2(滑动平均过程)设{Xn,n=0,±1,±2,···}为白噪声过程,令

其中a0,···,aM为实数,M为一正整数,则{ηn}为平稳过程.

解由

可知,E(ηn)为常数,E(ηn+mηn)与n无关,可见{Xn}为平稳过程.

例8.1.3(三角多项式过程)设{Xn,1≤n≤N}和{ηn,1≤n≤N}为实随机变量列,满足(https://www.daowen.com)

{ωn,1≤n≤N}为正实数列,令

则{X(t)}为平稳过程.

解由

可知,E(X(t))为常数,E[X(t+τ)X(t)]不依赖于t,所以{X(t)}为平稳过程.

例8.1.4(复平稳过程)设复随机过程Z(t)=ei(ω0t+Θ),-∞＜t＜+∞,其中ω0＞0是常数,Θ为随机变量,且Θ～U(0,2π),证明{Z(t)}为复平稳过程.

证

μZ(t)为常数;

RZ(t,t+τ)只与时间差τ有关.又{Z(t)}为二阶矩过程,则{Z(t)}为复平稳过程.

证毕