概率论与随机过程_数学物理化学

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内容简介

本书共分为两个部分.第一部分为概率论基础,包括第1～5章,其中第1～4章主要介绍了概率空间、可测函数、随机变量及其分布、随机向量变换、条件数学期望、一维和高维随

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前言

由于教学工作的需要,编者15年来一直担任北京邮电大学研究生学位课“概率论与随机过程”的教学工作.本书就是编者在15年的教学过程中,对一直授课使用的王玉孝老师（已

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第1章　概率空间

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1.1　σ-代数与Borel域

概率论是研究随机现象的数量规律的数学分支,理论严谨,应用广泛.在概率论及有关测度理论的讨论中,我们常常会遇到一些集合类,其中涉及集合的可列并或者可列交运算,下面

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1.2　概率空间

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1.2.1　概率的公理化定义

古典概型与几何概型中的概率具有共同的性质:非负性、规范性、有限可加性（对古典概型）或可列可加性（对几何概型）.同时,对于一般的随机试验,频率也有类似的性质.由此

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1.2.2　概率的性质

为了使用方便,下面把概率的性质列举如下,略去证明. 定理1.2.1设(Ω,F,P)为一概率空间,则P具有下列性质： (1)P(∅)=0; (2)有限可加性:若A

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1.2.3　条件概率空间与事件的独立性

本节在概率空间上讨论问题,首先给出条件概率空间的概念. 1.条件概率空间定理1.2.3设(Ω,F,P)为一已知概率空间,B∈F,P(B)＞0.若定义F上的集合

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1.3　习题

6.设Ω是一不可列集,A是由Ω的一切有限子集、可列子集及以有限子集或可列子集为余集的子集所组成的集合类,试证A是一σ-代数. 7.设G是由Ω的子集组成的集合类,

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第2章　可测函数、随机变量及其分布

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2.1　可测函数

为了方便讨论,先给出映射及其逆象的概念和性质,然后再讨论可测函数的性质.(https://www.daowen.com)

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2.1.1　映射及其逆象

定义2.1.1设Ω,R为两个非空集合,若对每一个ω∈Ω,有一个R中元素x=f(ω)与之对应,则称这种对应关系为由Ω到R上的映射,记作x=f(ω),并称f是由Ω到

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2.1.2　可测函数的定义及判别

将可测映射的概念具体化,可得到可测函数的相应概念和性质. (2)f=(f1,f2,···,fn)是(Ω,F)上的n维实可测函数的充要条件是对每一个k=1,

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2.2　一维随机变量及其分布

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2.2.1　随机变量的定义

在研究一个随机现象时,我们不仅要知道随机试验会出现什么样的结果,更重要的是要知道这些结果将以怎样的概率出现.同样,对于随机变量,我们不但要知道它取什么数值,而且

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2.2.2　分布函数及其性质

本科概率论中关于一维随机变量的分布函数及其性质的讨论较多,归纳如下,略去证明. 定义2.2.3称为随机变量X的分布函数（简记为d.f.）. 由定义2.2.3

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2.2.3　存在性定理

分布函数具有定理2.2.1中的3个性质,具有上述3个性质的函数必是某个随机变量的分布函数.这就是下面的定理. 定理2.2.2(存在性定理)设F(x)是单调增加、

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2.3　高维随机变量及其分布

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2.3.1　高维随机变量及其分布

定义2.3.1设X1,X2,···,Xn是定义在概率空间(Ω,F,P)上的随机变量,则称为一个n维随机变量或随机向量,它取值于R(n). 不难看出,(Ω,F

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2.3.2　离散型分布和连续型分布

离散型分布和连续型分布是两类常见的也是最重要的分布. 表示一离散型分布律,它所对应的n维离散型分布函数为设f(x1,···,xn)是非负的可积（暂理解为

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2.3.3　边缘分布

若X=(X1,···,Xn)的分布函数为F(x1,···,xn),则(Xk1,···,Xkm)的分布函数为称其为关于Xk1,···,Xkm的边缘分布函数,其

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2.4　 Borel函数与随机变量的函数

设X是定义在(Ω,F,P)上的一个随机变量,g(x)为普通函数,令Y=g(X),为了使Y也是一个随机变量,函数g(x)必须满足一定的条件.为此,可给出如下定义.

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2.5　随机变量的独立性和条件分布

随机变量的独立性是概率论中最重要的概念之一.本节将与随机变量独立性的概念有关的事件类的独立性引申到更广泛的事件类上去,并给出相应的判别方法.本节内容参考文献[1

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2.5.1　随机变量的独立性

定义2.5.1设Xt=(Xt1,···,Xtmt),t∈T是概率空间(Ω,F,P)上的实随机变量族,T是任意参数集.若对任意的正整数l,{t1,···,tl}⊂

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2.5.2　条件分布

下面从二维随机变量出发介绍条件分布的概念和计算.这些内容不难推广到更一般的情况. 1.二维情况定义2.5.3设已给两个随机变量X,Y,对于任意B∈B(1),如

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2.6　随机变量函数的分布

在许多实际问题中,我们经常会遇到随机变量函数的概率计算.这涉及两个基本问题：一是随机变量的函数是不是随机变量;二是怎样求随机变量的函数的分布.第一个问题已经在2

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2.6.1　一般方法

如果(X1,···,Xn)是(Ω,F,P)上的n维随机变量,g(x1,···,xn)是由(R(n),B(n))到(R(1),B(1))上的n元Borel可测函数

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2.6.2　特殊方法

对于某些特殊情况,可以用下面定理的方法计算. 定理2.6.3设n维随机变量X=(X1,···,Xn)的概率密度为f(x1,···,xn),n元函数gj(x1,·

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2.7　习题

1.设F(x)=P{X＜x},试证:F(x)单调不减、左连续,且F(-∞)=0,F(+∞)=1. 2.设随机变量X取值于(0,1),若对一切0＜x≤y＜1,P{

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《概率论与随机过程》简介

内容简介

前言

目录

第1章　概率空间

1.1　σ-代数与Borel域

1.2　概率空间

1.2.1　概率的公理化定义

1.2.2　概率的性质

1.2.3　条件概率空间与事件的独立性

1.3　习题

第2章　可测函数、随机变量及其分布

2.1　可测函数

2.1.1　映射及其逆象

2.1.2　可测函数的定义及判别

2.2　一维随机变量及其分布

2.2.1　随机变量的定义

2.2.2　分布函数及其性质

2.2.3　存在性定理

2.3　高维随机变量及其分布

2.3.1　高维随机变量及其分布

2.3.2　离散型分布和连续型分布

2.3.3　边缘分布

2.4　 Borel函数与随机变量的函数

2.5　随机变量的独立性和条件分布

2.5.1　随机变量的独立性

2.5.2　条件分布

2.6　随机变量函数的分布

2.6.1　一般方法

2.6.2　特殊方法

2.7　习题