10.1 分析四连杆机构的运动
1.运动分析方程的推导
（1）铰链四杆机构的组成
铰链四杆机构是由4个刚性构件通过低副（回转副、移动副）联接而成的一种封闭机构，如图10.1所示。运动件1称为曲柄；不直接与机架铰接的构件2称为连杆；摇动的件3称为摇杆；被固定件4称为机架。连架杆如果能作整圈运动的话就称为曲柄，否则就称为摇杆。
图10.1 四杆机构
（2）四杆机构的数学模型及其运动分析
四杆机构由曲柄L1、连杆L2、摇杆L3和机架L4构成，假设各杆件的长分别为l1、l2、l3和l4，曲柄L1以角速度ω1匀速运动，下面分析摇杆L3和连杆L2的角位移、角速度和角加速度方程。为了对机构进行运动分析，先建立直角坐标系，如图10.2所示。
将各构件以矢量形式表示，由于各杆构成封闭的矢量多边性，因此满足
各矢量对横坐标Ox轴的角位分别为θ1、θ2和θ3，取逆时针方向为正方向，反之为负，将矢量方程（10.1）分别在Ox、Oy轴投影，得到结构的位置方程：
方程（10.2）中只有θ2和θ3是未知量，故解得确定B和C点方位角的计算公式：
其中A=2l1l3sinθ1，B=2l3（l1cosθ1-l4），C=
图10.2 四杆坐标系
将式（10.2）对时间t取导数，并整理得
式（10.5）中已知θ2和θ3，故可得B和C点的角速度计算公式：
将式（10.5）对时间t取导数，将不含未知量的项写在方程右边，得
解方程组（10.8），得B和C点的角加速度计算公式：(https://www.daowen.com)
2.四连杆动态可视化和运动分析方程模板的制作
（1）四连杆动画仿真模板
下面的所有制作过程以图10.2为参考。
第一步，输入各构件的长及曲柄的角速度。在单元格B2、C2、D2、E2和F2中分别输入曲柄、连杆、摇杆、机架的长度l1、l2、l3、l4及曲柄的角速度ω1。
第二步，计算各杆方位。由于曲柄的端点B以角速度w1绕A点回转，因此θ1∈（0，360°）。在空单元格B4中输入θ1的回转表达式“=IF（B5＞360，0，B5+1）”。要计算确定C点方位的角度θ3，先计算式（10.3）中的A、B和C，因此在空单元格C3、D4和E4中分别输入“=2*$B$2*$D$2*SIN（B5*PI（）/180）”“=2*$D$2*（$B$2*COS（B5*PI（）/180）-$E$2）”和“=$C$2^2-$B$2^2-$D$2^2-$E$2^2+2*$B$2*$E$2*COS（B5*PI（）/180）”。用式（10.3）和式（10.4）在单元格F5、G6中分别输入相应的Excel计算公式。
第三步，计算各杆点坐标。在单元格B8和B9中分别输入A点横、纵坐标“=0”和“=0”；在单元格C8和C9中分别输入B点横、纵坐标的计算表达式“2*COS（B5*PI（）/180）”和“=B2*SIN（B5*PI（）/180）”；在单元格D8和D9中分别输入C点横、纵坐标的计算表达式“=E2+D2*COS（F5*PI（）/180）”和“=D2*SIN（F5*PI（）/180）”；在单元格E8和E9中分别输入D点横、纵坐标的计算表达式“=E2”和“=0”，如图10.3所示。
第四步，绘制四连杆动画仿真图。选中A点和B点坐标所在单元格区域B8：C9，依次单击“插入”、图表下拉按钮、“更多散点图（
）...”，选择“XY散点图→带平滑线的散点图”，单击“确定”按钮，便可绘制出曲柄的图像。然后在三个直标坐标系内使用画多个函数图像的方法（参考图3.3～3.5）分别绘制连杆、摇杆、机架的图像，并对所得图像进行装饰，得到图10.4所示的动画仿真图。
图10.3 四连杆有关的数据
图10.4 动画仿真演示图
第五步，在“文件”菜单下单击“选项”，在“选项”对话框中选择“公式”副对话框，然后勾选“启用迭代计算
）”复选框，最多迭代计算次数设为1，最大误差设为0.001，单击“确定”按钮。这时，如果我们按功能键F9，则四连杆机构的各构件开始运动。
（2）各构件的位移、速度及加速度曲线
第一步，用式（10.6）、式（10.7）、式（10.9）和式（10.10）计算对应于θ1、θ2和θ3的B和C点的角速度和角加速度。在单元格C12和C15中分别输入B点的角速度和角加速度公式“=$B$2*SIN（（B5-F5）*PI（）/180）/（$C$2*SIN（（G5-F5）*PI（）/180））*$F$2”和“=（-$F$2^2*$B$2*COS（（B5-F5）*PI（）/180）-C12^2*$C$2*COS（（G5-F5）*PI（）/180）+D12^2*$D$2）/（C2*SIN（（G5-F5）*PI（）/180））”。在单元格D12和D15中分别输入C点的角速度和角加速度公式“=$B$2*SIN（（B5-G5）*PI（）/180）/（$D$2*SIN（（F5-G5）*PI（）/180））*$F$2”和“=（$F$2^2*$B$2*COS（（B5-G5）*PI（）/180）+C12^2*$C$2-C12^2*$D$2*COS（（F5-G5）*PI（）/180））/（$D$2*SIN（（F5-G5）*PI（）/180））”，如图10.1所示。
图10.5 位置、角速度及角加速度计算数据
第二步，在单元格B18和C18中分别输入步长“0”和“=B18*$F$2*180/PI（）”。用式（10.3）、式（10.4）、式（10.6）、式（10.7）、式（10.9）和式（10.10）输入每一个变量相应的Excel计算式，在单元格B19中输入Excel表达式“=B18+10/（$F$2*180/PI（））”，计算θ1增加10°所需的时间。选中单元格区域C18：L18，把鼠标指针移动到单元格L18的右下角，当其变成“
”符号时按住鼠标左键向下方拖动一行，最后选中单元格区域B19：L19，把鼠标指针移动到单元格L19的右下角，当其变成“
”符号时，按住鼠标左键向下方拖动到θ1变到360°为止。得到的各构件的位移、角速度及角加速度如图10.5所示。
第三步，绘制位置、速度和加速度图像。用Excel画图功能分别绘制位移线、角速度线及角加速度线，如图10.6所示。
图10.6 运动曲线图
如果各杆的长度及曲柄的角速度改变，运动曲线图像也会相应地改变。
