5.7.2 光子探测的半经典理论
在光子探测的半经典理论中，把光看作经典的电磁波。考虑一束弱光照到光子计数器（如光电倍增管）上，光与探测器阴极的原子相互作用，发生光电效应而释放出光电子，并进一步触发更多电子，倍增放大形成足够强度的电流脉冲从而被电子计数器探测到。因此，计数器记录的脉冲对应着阴极释放的每一个电子。
假设光束为具有强度I的经典电磁波，阴极的原子是量子化的，在吸收了光束的能量子后，以一定概率辐射出光电子。因此，为解释输出的脉冲关于时间间隔的统计性质，对光子探测过程作如下三个假设：
(1)在非常短的时间间隔Δt内，发射一个光电子的概率正比于光强I、照射面积和时间间隔Δt；
(2)如果Δt足够小，则同时发射两个光电子的概率非常小，甚至可以忽略不计；
(3)在不同的时间间隔内，记录的光子辐射事件是相互独立的。
由假设(1)，我们可以把在t→t+Δt内观测到一个光子辐射事件的概率表示为
其中，ξ等于单位时间内每单位强度的辐射概率，它正比于照射面积。根据假设(2)，在同样的时间内没有观测到光子辐射事件的概率为
那么，在0→t+Δt内探测到n个光电子的概率是多少呢？按照假设(3)，如果Δt很小，则有两种方式可以获得结果：1○在时间0→t内有n个事件发生，而t→t+Δt内没有事件发生；2○n－1个事件发生在0→t内，1个事件发生在t→t+Δt。因此，可以得到
令P(n;0,t)≡Pn(t)，(5.33)式可以变为
令Δt→0，求极限可得
在边界条件P0(0)=1下，递推关系式(5.35)的一般解为
可以考虑一种最简单的情况：光强I(t)是与时间无关的恒定值（对应于完全相干光），ξI(t)=C。式(5.35)简化为(https://www.daowen.com)
对于n=0，必定对应着Pn-1(t)=0。因此，可以得到第一个递推关系：
加上边界条件P0(0)=1，可以得到解为
对于n≤1，式(5.37)两边分别乘以积分因子eCt，可以得到
积分可得
从而，可以得到
式(5.36)中，如果I(t)是恒定的，则
显然，式(5.42)给出的解与式(5.36)是一致的。
式(5.31)意味着单位时间内事件发生的概率为ξI(t)，如果I(t)是恒定的，那么在0→t时间段内平均计数率¯n=ξIt≡Ct。因此，式(5.42)就可以表示为
这证明了当I(t)恒定时，得到的是泊松分布。
由上面的讨论可以看到，如果光强是不随时间变化的恒定值时，就可观测到光电子的脉冲计数为泊松统计，而其根本没有涉及光子概念。唯一要求的是光电子的发射是由量子化原子对入射光束能量子的概率性吸收触发的。因此，根据脉冲计数统计的分析不能必然知道基本的光子统计。同时，光强完全恒定得到泊松分布，如果光强随时间变化肯定得到超泊松分布。很显然，在半经典理论的框架下，不可能得到光的亚泊松分布。
