5.1.3　等距映射法

等距映射(isometric feature mapping,ISOMAP)是流形学习的一种,用于非线性数据降维,主要目标是对于给定的高维流形,欲找到其对应的低维嵌入,使得高维流形上数据点间的近邻结构在低维嵌入中得以保持。

它所采用的核心算法和MDS是一致的,区别在于原始空间中的距离矩阵的计算上。很多数据是非线性结构,不适合直接采用PCA算法和MDS算法。在非线性数据结构中,流形上距离很远(测地线距离)的两个数据点,在高维空间中的距离(欧氏距离)可能非常近,如图5.9所示。

图5.9　非线性数据结构示例

(a)散点组成的旋转曲面上两点间的距离并不能代表它们在数据之间的差异。(https://www.daowen.com)

(b)连接两个远点的曲线显示了两个数据点间的真实路径。

(c)经过ISOMAP处理过的平面上,两点间的直线距离和真实距离(曲线)非常接近。

只有测地线距离才反映了流形的真实低维几何结构。ISOMAP建立在MDS的基础上,保留的是非线性数据的本质几何结构,即任意点对之间的测地线距离。

与MDS的区别在于MDS采用两点间的欧氏距离而ISOMAP采用测地线距离来刻画两点间的距离。ISOMAP先计算数据点间的测地线距离,然后对所生成的距离矩阵使用经典多尺度分析获得相应的低维投影。

等距映射法的核心是离得很近的点的测地线距离采用欧氏距离代替,而离得较远的点间的测地线距离用最短路径来逼近。