天元勾股细草卷上
丹徒 刘鹗 学演
今有勾一十二，股弦和七十二，问股弦各几何。
答曰：股三十五，弦三十七。
《草》曰：立天元一为弦，自之得弦幂，又置股弦和七十二，以天元弦减之，得七十二，减弦为股，自之得五千一百八十四减一百四十四为股幂（寄左）。又置勾一十二，自之得一百四十四为勾幂，以减天元弦幂，得弦减一百四十四为同数。与左相消，得五千三百二十八减一百四十四弦。开无隅方得三十七即弦，以减股弦和得三十五即股。合问。
今有勾三十三，股弦较一十一，问如前。
答曰：股四十四，弦五十五。
《草》曰：立天元一为弦自之得弦幂。又置勾三十三，自之得一千零八十九为勾幂，以减天元弦幂，得弦幂减一千零八十九为股幂（寄左）。又置股弦较一十一以减天元弦，得弦减一十一为股，自之得一百二十一减二十二弦加弦幂为同数。与左相消，得一千二百一十减二十二弦。开无隅方得五十五即弦，以股弦较减弦得四十四即股。合问。
今有股四十五，勾弦和七十五，问勾弦各几何。
答曰：勾二十四，弦五十一。
《草》曰：立天元一为弦，自之得弦幂。又置股四十五自之得二千零二十五为股幂，以减天元弦幂，得弦幂减二千零二十五为勾幂（寄左）。又置勾弦和七十五以天元弦减之，得七十五减弦为勾，自之得五千六百二十五减一百五十弦加弦幂为同数。与左相消，得七千六百六十减一百五十弦。开无隅方得五十一即弦，以减勾弦和得二十四即勾。合问。
今有股五十五，勾弦较二十五，问如前。
答曰：勾四十八，弦七十三。
《草》曰：立天元一为弦，自之得弦幂。又置股五十五，自之得三千零二十五为股幂（寄左）。又置勾弦较二十五以减天元弦，得弦减二十五为勾，自之得六百二十五减五十弦加弦幂为同数。与左相消，得五十弦减三千六百五十。开无隅方得七十三即弦，以勾弦较减弦得四十八即勾。合问。
今有弦七十五，勾股和九十三，问勾股各几何。
答曰：勾二十一，股七十二。
《草》曰：立天元一为股，自之得股幂。又置弦七十五，自之得五千六百二十五为弦幂，以天元股幂减之，得股幂减五千六百二十五为勾幂（寄左）。又置勾股和九十三，以天元股减之，得九十三减股为勾，自之得八千六百四十九减一百八十六股加股幂为同数。与左相消，得三千零二十四减一百八十六股加二股幂。开翻积同体方得七十二即股，以减勾股和得二十一即勾。合问。
今有弦九十一，勾股较四十九，问如前。
答曰勾三十五，股八十四。
《草》曰：立天元一为股，自之得为股幂。又置勾股较四十九，以减天元股得弦减四十九为勾，自之得二千四百零一减九十八弦加弦幂为勾幂（寄左）。又置弦九十一，自之得八千二百八十一为弦幂，以天元股幂减之，得八千二百八十一减股幂为同数。与左相消，得五千八百八十加九十八股减二股幂。开同体方得八十四即股，以勾股较减股得三十五即勾。合问。
今有勾股和四百五十一，勾弦和五百三十九，问勾股弦各几何。
答曰：勾二百二十，股二百三十一，弦三百一十九。
《草》曰：立天元一为勾，自之得勾幂。又置勾股和四百五十一，以天元勾减之，得四百五十一减勾为股，自之得二十万三千四百零一减九百零二勾加勾幂为股幂（寄左）。又置勾弦和五百三十九，以天元勾减之得五百三十九减勾为弦，自之得二十九万零五百二十一减一千零七十八勾加勾幂为弦幂，以天元勾幂减之，得二十九万零五百二十一减一千零七十八勾为同数。与左相消，得八万七千一百二十减一百七十六勾减勾幂。开平方得二百二十即勾，以减勾股和得二百三十一即股，以勾减勾弦和得三百一十九即弦。合问。
今有勾股和三百四十一，勾弦较一百九十八，问如前。
答曰：勾七十七，股二百六十四，弦二百七十五。
《草》曰：立天元一为勾，自之得勾幂。又置勾股和三百四十一，以天元勾减之，得三百四十一减勾为股，自之得一十一万六千二百八十一减六百八十二勾加勾幂为股幂（寄左）。又置勾弦较一百九十八以加天元勾，得一百九十八加勾为弦，自之得三万九千二百零四加三百九十六勾加勾幂为弦幂，以天元勾幂减之得三万九千二百零四加三百九十六勾为同数。与左相消，得七万七千零七十七减一千零七十八勾加勾幂。开平方得七十七即勾，以减勾股和得二百六十四即股，以勾加勾弦较得二百七十五即弦。合问。
今有勾股较六十二，勾弦和一百，问如前。
答曰：勾一十八，股八十，弦八十二。
《草》曰：立天元一为股，自之得股幂。又置勾股较六十二，以减天元股，得股减六十二为勾，自之得三千八百四十四减一百二十四股加股幂为勾幂（寄左）。又置勾弦和一百以勾减之，得一百六十二减股为弦，自之得二万六千二百四十四减百二十四股加股幂为弦幂，以天元股幂减之，得二万六千二百四十四减百二十四股为同数。与左相消，得二万二千四百减二百股减股幂。开平方得八十即股，以勾股较减之得十八即勾，以减勾弦和得八十二即弦。合问。
今有勾股较六十三，勾弦较八十一，问如前。
答曰：勾七十二，股一百三十五，弦一百五十三。
《草》曰：立天元一为股，自之得股幂。又置勾股较六十三以减天元股，得股减六十三为勾，自之得三千九百六十九减一百二十六股加股幂为勾幂（寄左）。又置勾弦较八十一以加勾，得一十八加股为弦，自之得三百二十四加三十六股加股幂为弦幂，以天元股幂减之得三百二十四加三十六股为同数。与左相消，得三千六百四十五减一百六十二股加股幂。开翻积方得一百三十五即股，如前求得勾七十二，弦一百五十三。合问。
今有勾股和二百零六，勾和较一百六十，问如前（此问和长较短）。
答曰：勾九十六，股一百一十，弦一百四十六。
《草》曰：立天元一为股，自之得股幂。又置勾股和二百六以天元股减之，得二百零六减股为勾，自之得四万二千四百三十六减四百十二股加股幂为勾幂（寄左）。又置勾和较一百六十识别得，即股较和以天元股减之，得一百六十减股为勾弦较，以加勾得三百六十六减二股为弦，自之得一十三万三千九百五十六见一千六百六十四股加四股幂为弦幂，以天元股幂减之，得一十三万三千九百五十六减一千六百六十四股加三股幂为同数。与左相消，得九万一千五百二十减一千零五十二股加二股幂。开同体方得一百一十即股，以减勾股和得九十六即勾，以加勾和较得二百五十六即股弦和，再以股减之得一百四十六即弦。合问。
今有勾股和二百一十七，勾和较二百九十四，问如前（此问和短较长）。
答曰：勾四十九，股一百六十八，弦一百七十五。
《草》曰：立天元一为勾，自之得勾幂。又置勾股和二百一十七，以天元勾减之得二百一十七减勾为股，自之得四万七千零八十九减四百三十四勾加勾幂为股幂（寄左）。又置勾和较二百九十四以勾加之，得二百九十四加勾为股弦和，以股减之得七十七加二勾为弦，自之得五千九百二十九加三百零八勾加勾四勾幂为弦幂，以天元勾幂减之得五千九百二十九加三百零八勾加三勾幂为同数，与左相消，得二勾幂加七百四十二勾减四万一千一百六十。开同体方得四十九即勾，以减勾股和得一百六十八即股，以勾加句和较得三百四十三即股弦和，再以股减之得一百七十五即弦。合问。
今有勾股和五百三十三，勾较和三百六十四，问如前。
答曰：勾二百六十，股二百七十三，弦三百七十七。
《草》曰：立天元为股，自之得股幂。又置勾股和五百三十三，以天元股减之得五百三十三减股为勾，自之得二十八万四千零八十九减一千零六十六股加股幂为勾幂（寄左）。又置勾较和三百六十四识别得即股和较以天元股加之，得三百六十四加股为勾弦和，再以勾减之，得二股减一百六十九为弦，自之得二万八千五百六十一减六百七十六股加股幂为弦幂，以天元股幂减之得二万八千五百六十一减六百七十六股为同数。与左相消，得二股幂加三百九十股减二十五万五千五百二十八。开同体方得一百七十三即股，以减勾股和得二百六十即勾，以股加勾较和即股和较得六百三十七，再以勾减之得三百七十七即弦。合问。
今有勾股较六十三，勾和和二百七十，问如前。
答曰：勾四十五，股一百八，弦一百一十七。
《草》曰：立天元一为勾，自之得勾幂。又置勾股较六十三以加天元勾，得六十三加勾为股，自之得三千九百六十九加一百二十六勾加勾幂为股幂（寄左）。又置勾和和以天元勾减之得二百七十减勾为股弦和，再以股减之，得二百零七减二勾为弦，自之得四万二千八百四十九减八百二十八加四勾幂为弦幂，以天元勾幂减之得四万二千八百四十九减八百二十八加三勾幂为同数。与左相消，得三万八千八百八十减九百五十四勾加二勾幂。开同体方得四十五即勾，以加勾股较得一百零八即股，勾股相加得一百五十三，以减勾和和得一百一十七即弦。合问。
今有勾股较五百五十三，勾较较一百二十六，问如前（此勾股较长，勾较较短，问相减余长于勾较较）。
答曰：勾一百四十，股六百九十三，弦七百零七。
《草》曰：立天元一为股，自之得股幂。又置勾股较五百五十三，以减天元股，得股减五百五十三为勾，自之得三十万五千八百零九减一千一百零九股加股幂为勾幂（寄左）。又置勾较较一百二十六识别得，即股较较以减天元股，得股减一百二十六即勾弦较，以加勾得二股减六七九为弦，自之得四十六万一千零四十一减二千七百一十六加四股幂为弦幂，以天元股幂减之，得四十六万一千零四十一减二千七百一十六加三股幂为同数。与左相消，得一十五万五千二百三十二减一千六百一十股加二股幂。开翻积同体方得六百九十三即股，以勾股较减股得一百四十即勾，以勾较较减勾得十四，再加股得七百零七即弦。合问。
今有勾股较四十九，勾较较四十二，问如前（此问勾股较长，勾较较短，相减余短于勾较较）。
答曰：勾五十六，股一百五，弦一百一十九。
《草》曰：立天元一为勾，自之得勾幂。又置勾股较四十九以加勾得四十九加勾为股，自之则得二千四百零一加九十八勾加勾幂为股幂（寄左）。又置勾较较四十二以减天元勾，得勾减四十二为股弦较，以股加之得七加二勾为弦，自之得四十九加二十八勾加四勾幂为弦幂，以天元勾幂减之，得四十九加二十八勾加三勾幂为同数。与左相消，得二勾幂减七十勾减二千三百五十二。开同体方得五十六即勾，以加勾股较得一百五即股，以勾较较减勾得十四，再加股得一百一十九即弦。合问。
今有勾股较一十六，勾较较一百九十二，问如前（此问勾股较短，勾较较长相减余长于勾股较）。
答曰：勾三百二十，股三百三十六，弦四百六十四。
《草》曰：立天元一为勾，自之得勾幂。又置勾股较一十六以加天元勾，得一十六加勾为股，自之得二百五十六加三十二勾加勾幂为股幂（寄左）。又置勾较较一百九十二以减天元勾，得勾减一百九十二为股弦较，以股加之得二勾减一百七十六为弦，自之得三万零九百七十六减七百零四勾加四勾幂为弦幂，以天元勾幂减之得三万零九百七十六减七百零四勾加三勾幂为同数。与左相消，得三万零七百二十勾加二勾幂。开翻积同体方得三百二十即勾，以加勾股较得三百三十六即股，以勾较较减勾得一百一十八，再加股得四百六十四即弦。合问。
今有勾股较六十二，勾较较八十四，问如前（此问勾股较短，勾较较长，相减余短于勾股较）。
答曰：勾一百二十，股一百八十二，弦二百一十八。
《草》曰：立天元一为勾，自之得勾幂。又置勾股较六十二，以天元勾加之得六十二加勾为股，自之得三千八百四十四加一百二十四勾加勾幂为股幂（寄左）。又置勾较较八十四以减天元勾得勾减八十四为股弦较，以股加之得二勾减二十二为弦，自之得四百八十四减八十八勾加四勾幂为弦幂，以天元勾幂减之得四百八十四减八十八勾加三勾幂为同数。与左相消，得二勾幂减二百一十二勾减三千三百六十。开同体方得一百二十即勾，以加勾股较得一百八十二即股，以勾较较减勾得三十六，再加股得二百一十八即弦。合问。
今有勾弦和六百七十六，勾和较五百六十，问如前（此问和长较短）。
答曰：勾二百四十，股三百六十四，弦四百三十六。
《草》曰：立天元一为弦，自之得弦幂。又置勾弦和六百七十六以天元弦减之，得六百七十六减弦为勾，自之得四十五万六千九百七十六减一千三百五十二弦加弦幂为勾幂（寄左）。又置勾和较五百六十识别得，即弦较和以弦减之得五百六十减弦为勾股较，加勾得一千二百三十六减二弦为股，自之得一百五十二万七千六百九十六减四千九百四十四弦加四弦幂为股幂，以减天元弦幂，得一百五十二万七千六百九十六减四千九百四十四弦加三弦幂为同数。与左相消，得一百九十八万四千六百七十二减六千二百九十六弦加四弦幂。开同体方得四百三十六即弦，以减勾弦和得二百四十即勾，以勾加勾和较得八百，再以弦减之得三百六十四即股。合问。
今有勾弦和二百八十八，勾和较三百七十八，问如前（此和短问较长）。
答曰：勾六十三，股二百十六，弦二百二十五。
《草》曰：立天元一为弦，自之得弦幂。又置勾弦和二百八十八，以天元弦减之得二百八十八减弦为勾，自之得八万二千九百四十四减五百七十六弦加弦幂为勾幂（寄左）。又置勾和较三百七十八识别得，即弦较和以天元弦减之得三百七十八减弦为勾股较，以加勾得六百六十六减二弦为股，自之得四十四万三千五百五十六减二千六百六十四弦加四弦幂为股幂，以减天元弦幂得二千六百六十四弦减四十四万三千五百五十六减三弦幂为同数。与左相消，得三千二百四十减十二万六千五百弦减四幂。开同体方得二百二十五即弦，以弦减勾弦和得六十三即勾，以勾加勾和较得四百四十一，再以弦减之得二百一十六即股。合问。
今有勾弦和三百零六，勾较较六十八，问如前。
答曰：勾八十五，股二百零四，弦二百二十一。
《草》曰：立天元一为勾，自之得勾幂。又置勾弦和三百零六以天元勾减之，得三百零六减勾为弦。又置勾较较六十八以减天元勾得勾减六十八为股弦较，以减弦得三百七十四减二勾为股，自之得七十三万九千八百七十六减一千四百九十六勾加四勾幂为股幂（寄左）。又置弦自之得九万三千六百三十六减六百十二勾加勾幂为弦幂，以天元勾幂减之，得九万三千六百三十六减六百十二勾为同数。与左相消，得四万六千二百四十减八百八十四勾加四勾幂。开同体方得八十五即勾，如前得股二百零四，弦二百二十一。合问。
今有勾弦和五百八十八，勾较较一百四十四，问如前。
答曰：勾一百九十八，股二百五十二，弦三百九十。
《草》曰：立天元一为勾，自之得，勾幂。又置勾弦和五百八十八以天元勾减之，得五百八十八减勾为弦。又置勾较较一百四十四以减天元勾，得勾减一百四十四为股弦较，以减弦得七百三十二减二勾为股，自之得五十三万五千八百二十四减二千九百二十八勾加四勾幂为股幂（寄左）。又置弦自之得三十四万五千八百二十四减一千一百七十六勾加勾幂为弦幂，以天元勾幂减之得三十四万五千八百二十四减一千一百七十六勾为同数。与左相消，得一十九万零八十减一千七百五十二勾加四勾幂。开同体方得一百九十八，如前求股三百三十六，弦三百九十。合问。
今有勾弦较一百，勾和和二百六十四，问如前。
答曰：勾二十二，股一百二十，弦一百二十二。
《草》曰：立天元一为勾，自之得勾幂。又置勾弦较一百以加天元勾得一百加勾为弦，再加天元勾得一百加二勾为勾弦和，以减勾和和二百六十四得一百六十四减二勾为股，自之得二万六千八百九十六减六百五十六勾加四勾幂为股幂（寄左）。又置弦一百加勾，自之得一万加二百勾加勾幂为弦幂，以天元勾幂减之得一万加二百勾为同数。与左相消，得一万六千八百九十六减八百五十六勾加四勾幂。开同体方得二十二即勾，加较得一百二十二即弦，勾弦相加以减和和得一百二十即股。合问。
今有勾弦较六百四十八，勾较和一百七十六，问如前（此较长和短相问减余长于和）。
答曰：勾一百六十，股七百九十二。
《草》曰：立天元一为勾，自之得勾幂。又置勾弦较六百四十八以加天元勾，得六百四十八加勾为弦。又置勾较和一百七十六以天元勾减之得勾减一百七十六为股弦较，以减弦得四百七十二加二勾为股，自之得二十二万二千七百八十四加一千八百八十八勾加四勾幂为股幂（寄左）。又置弦六百四十八加勾，自之得四十一万九千九百零四加一千二百九十六勾加勾幂为弦幂，以天元勾幂减之，得四十一万九千九百零四加一千二百九十六勾为同数。与左相消，得勾幂加五百九十二勾减一十九万七千一百二十。开同体方得一百六十即勾，加较得八百零八即弦，勾弦相加以勾较和一百七十六减之得七百九十二即股。合问。
今有勾弦较四十，勾较和三十，问如前。
答曰：勾二十五，股六十，弦六十五。
《草》曰：立天元一为弦，自之得弦幂。又置勾弦较四十以减天元弦得弦减四十为勾，自之得一千六百减八十弦加弦幂为勾幂（寄左）。又置勾较和三十识别得，即弦较较以减天元弦得弦减三十为勾股较，以勾弦减四十加之得二弦减七十为股，自之得四千九百减二百八十弦加四弦幂为股幂，以减天元弦幂得二百八十弦减四千九百减三弦幂为同数。与左相消，得六千五百减三百六十弦加四弦幂。开翻积同体方得六十五即弦，以勾弦较减之得二十五即勾，勾弦相加以勾较和减之得六十即股。合问。
今有勾弦较二百八十八，勾较和八百九十六，问如前（此问较短和长相减，余长于较）。
答曰：勾六百四十，股六百七十二，弦九百二十八。
《草》曰：立天元一为勾，自之得勾幂。又置勾弦较二百八十八以加天元勾得二百八十八加勾为弦。又置勾较和八百九十六以天元勾减之，得八百九十六减勾为股弦较，以减弦，得二弦减六百零八为股，自之得三十六万九千六百四十四为股幂（寄左）。又置弦二百八十八加勾，自之得八万二千九百四十四加五百七十六勾加勾幂为弦幂，以天元勾幂减之，得八万二千九百四十四加五百七十六勾为同数。与左相消，得二十八万六千七百二十减三千零八勾加四勾幂。开同体方得六百四十即勾，如前求得股六百七十二弦九百二十八。合问。
今有勾弦较二百九十四，勾较和四百六十八，问如前（此问较短和长相减余短于较）。
答曰：勾三百六十，股五百四十六，弦六百五十四。
《草》曰：立天元一为勾，自之得勾幂。以勾加勾弦较二百九十四，得二百九十四加勾为弦，自之得八万六千四百三十六加五百八十八勾加勾幂为弦幂，以天元勾幂减之，得八万六千四百三十六加五百八十八勾为股幂（寄左）。又置勾较和四百六十八，以天元勾减之，得四百六十八减勾为股弦较，以减弦得二勾减一百七十四为股，自之得三万零二百七十六减六百九十六加四勾幂为同数。与左相消，得四勾幂减一千二百八十四勾减五万六千一百六十。开益积同体方得三百六十即勾，如前求得股五百四十六，弦六百五十四。合问。
今有股弦和一百四十四，勾较和二十八，问如前。
答曰：勾二十四，股七十，弦七十四。
《草》曰：立天元一为股，自之得股幂。又置股弦和以天元股减之，得一百四十四减股为弦，自之得二万零七百三十六减二百八十八股加股幂为弦幂，以天元股幂减之得二万零七百三十六减二百八十八股为勾幂（寄左）。又置勾较和二十八识别得，即股和较以天元股加之，得二十八加股为勾弦和，再以弦减之二股减一百一十六为勾，自之得一万三千四百五十六减四百六十四股加四股幂为同数。与左相消，得四股幂减一百七十六股减七千二百八十。开同体方得七十即股，以减股弦和得七十四即弦，股与勾较和相加，以弦减之得二十四即勾。合问。
今有股弦和三百三十八，勾较较二十四，问如前。
答曰：勾二十六，股二百六十八，弦一百七十。
《草》曰：立天元一为勾，自之得勾幂。又置勾较较二十四以减天元勾，得勾减二十四为股弦较，以减股弦和三百六十二，得三百六十二加勾，半之得一百八十一加零点五勾为股，自之得三万二千七百六十一减一百八十一勾加零点二五勾幂为股幂（寄左）。又置股弦和三百三十八与股弦较勾减二十四相加，得三百一十四加勾，半之得一百五十七加零点五勾为弦，自之得二万四千六百四十九加一百五十七勾加零点二五勾幂为弦幂，以天元勾幂减之得二万四千六百四十九加一百五十七勾减零点七五勾幂为同数。与左相消，得八千一百一十二减三百三十八勾加勾幂。开平方得二十六即勾，以勾较较减勾得二为股弦较，和较相加折半得一百七十为弦，和较相减折半得一百六十八即股。合问。
今有股弦较四，勾和和五百二十八，问如前。
答曰：勾四十四，股二百四十，弦二百四十四。
《草》曰：立天元一为勾，自之得勾幂。又置勾和和五百二十八以天元勾减之得五百二十八减勾为股弦和，再以股弦较四减之得五百二十四减勾，半之得二百六十二减零点五勾为股，自之得六万八千六百四十四减二百六十二勾加零点二五勾幂为股幂（寄左）。又置和较相加得五百三十二减勾，半之得二百六十六减零点五勾为弦，自之得七万零七百五十六减二百六十六句加零点二五勾幂为弦幂，以天元勾幂减之得七万零七百五十六减二百六十六勾减零点七五勾幂为同数。与左相消，得二千一百一十二减四勾减勾幂。开平方得四十四即勾，勾减勾和和即股弦和，如前得股二百四十，弦二百四十四。合问。
今有股弦较一十二，勾和较一千零八十，问如前。
答曰：勾一百二十，股五百九十四，弦六百六。
《草》曰：立天元一为勾，自之得勾幂。又置勾和较一千零八十以加天元勾，得一千零八十加勾为股弦和。又置股弦较一十二以减股弦和，得一千零六十八加勾，半之得五百三十四加零点五勾为股，自之得二十八万五千一百五十六加五百三十四勾加零点二五勾幂为股幂（寄左）。又置和较相加，得一千零九十二加勾，半之得五百四十六加零点五勾为弦，自之得二十九万八千一百一十六加五百四十六加零点二五勾为弦幂，以天元勾幂减之，得二十九万八千一百一十六加五百四十六减零点七五勾幂为同数。与左相消，得勾幂减一十二勾减一万二千九百六十。开平方得一百二十即勾，勾加勾和较即股弦和，如前求得股五百九十四，弦六百零六。合问。