天元勾股细草卷下
丹徒 刘鹗 学演
今有勾股相乘积六十步，只云弦一十三步，问勾几何。
答曰：五步。
术曰：积自之为益实方空，弦自之为从上廉下廉空一益隅，开方得勾。
《草》曰：立天元一为勾，自之得勾幂。又置勾股相乘积六十步，以天元勾除之得六十除以勾为股，自之得三千六百除以勾幂为股幂，以加天元勾幂，得三千六百除以勾幂加勾幂为弦幂（寄左）。又置弦一十三步，自之得一百六十九步为同数。与左相消，得三千六百除以勾幂加勾幂减一百六十九。开玲珑三乘方得五步。合问。
今有勾股相乘积六十步，只云勾股较七步，问弦几何。
答曰：一十三步。
术曰：勾股较自之，加倍积为益实方空一正隅，开方得弦。
《草》曰：立天元一为弦，自之得弦幂。又置勾股较七步，自之得四十九步为较幂，以减天元弦幂得弦减四十九为倍直积（寄左）。又置勾股相乘积六十步，倍之得一百二十步为同数。与左相消，得减一百六十九减弦。开平方得一十三步。合问。
今有勾股相乘积六十步，只云勾股和一十七步，问弦几何。
答曰：一十三步。
术曰：勾股和自之，以倍积减之余为益实方空一从隅，开方得弦。
《草》曰：立天元一为弦，自之得弦幂。又置勾股和一十七步，自之得二百八十九步，以天元弦幂减之得二百八十九减弦幂为倍直积（寄左）。又置勾股相乘积六十步，倍之得一百二十步为同数。与左相消，得弦减一百六十九。开平方得一十三步。合问。
今有勾股相乘积六十步，只云勾弦较八步，问股几何。
答曰：一十二步。
术曰：勾弦较系积倍之为益实，勾弦较自之，为益方廉空一从隅，开方得股。
《草》曰：立天元一为股，自之得股幂。又置勾股相乘积以天元股除之得六十除以股为勾，自之得三千六百除以股幂为勾幂，以加天元股幂得三千六百除以股幂加股幂为弦幂（寄左）。又置勾弦较八步，以加勾，得勾加八为弦，自之得三千六百除以股幂加九百六十除以股加六十四为同数。与左相消，得九百六十减六十四股减股幂。开立方得一十二步。合问。
今有勾股相乘积六十步，只云勾弦和一十八步，问股几何。
答曰：一十二步。
术曰：勾弦和乘积倍之为益实，勾弦和自之，为从方廉空一益隅，开方得股。
《草》曰：立天元一为股，自之得股幂。又置勾股相乘积六十步以天元股除之得为勾，自之得三千六百除以股幂为勾幂，以加天元股幂，得三千六百除以股幂加股幂为弦幂（寄左）。又置勾弦和一十八步以勾减之，得一十八减六十除以股为弦，自之得三千六百除以股幂减二百一十六除以股加三百二十四为同数。与左相消，得三百二十四减二千一百六十除以股减股幂。开换骨立方得一十二步。合问。
今有勾股相乘积六十步，只云股弦较一步，问勾几何。
答曰：五步。
术曰：股弦较乘积倍之为益实，股弦较自之为益方，廉空一从隅，开方得勾。
《草》曰：立天元一为勾，自之得勾幂。又置勾股相乘积六十步，以天元勾除之，得六十除以勾为股，自之得三千六百除以勾幂为股幂，以加天元勾幂得三千六百除以勾幂加勾幂为弦幂（寄左）。又置股弦较一步，以加股得一加六十除以勾为弦，自之得三千六百除以勾幂加一百二十除以勾加一为同数。与左相消，得勾幂减一百二十除以勾减一。开立方得五步。合问。
今有勾股相乘积六十步，只云股弦和二十五步，问勾几何。
答曰：五步。
术曰：股弦和乘积倍之为益实，股弦和自之为从方，廉空一益隅，开方得勾。
《草》曰：立天元一为勾，自之得勾幂。又置勾股相乘积六十步，以天元勾除之，得六十除以勾为股，自之得三千六百除以勾幂为股幂，以加天元勾幂得三千六百除以勾幂加勾幂为弦幂（寄左）。又置股弦和二十五步，以股减之得二十五减六十除以勾为弦，自之得三千六百除以勾幂减三千除以勾加六百二十五为同数。与左相消，得六百二十五减勾幂减三千除以勾。开立方得五步，合问。
今有勾股相乘积六十步，只云弦和较四步，问弦几何。
答曰：一十三步。
术曰：弦和较自之折半减积为实，弦和较为法实，如法而一得弦。
《草》曰：立天元一为弦，自之得弦幂。又置弦和较四步以加天元弦得四加弦为勾股和，自之得一十六加八弦加弦幂为和幂（寄左）。又置勾股相乘积六十步倍之，得一百二十步，与天元弦幂相加，得一百二十加弦幂为同数。与左相消，得八弦减一百零四。开无隅方得一十三步。合问。
今有勾股相乘积六十步，只云弦和和三十步，问弦几何。
答曰：一十三步。
术曰：弦和和自之折半以积减之为实，弦和和为法实，如法而一得弦。
《草》曰：立天元一为弦，自之得弦幂。又置弦和和三十步，以天元弦减之，得三十弦减弦为勾股和，自之得九百减六十弦加弦幂为和幂（寄左）。又置勾股相乘积六十步倍之，得一百二十步，与天元弦幂相加得一百二十加弦幂为同数。与左相消，得六十弦减七百八十。开无隅方得一十三步。合问。
今有勾股相乘积六十步，只云弦较较六步，问弦几何。
答曰：一十三步。
术曰：弦较较自之折半加积为实，弦较较为法实，如法而一得弦。
《草》曰：立天元一为弦，自之得弦幂。又置弦较较六步以减天元弦，得弦减六为勾股较，自之得三十六减十二弦加弦幂为较幂（寄左）。又置勾股相乘积六十步倍之，得一百二十步，以减天元弦幂得弦幂减一百二十为同数。与左相消，得十二弦减一百五十六。开无隅方得一十三步。合问。
今有勾股相乘积六十步，只云弦较和二十步，问弦几何。
答曰：一十三步。
术曰：弦较和自之折半加积为实，弦较和为法实，如法而一得弦。
《草》曰：立天元一为弦，自之得弦幂。又置弦较和二十步，以天元弦减之得二十减弦为勾股较，自之得四百减四十弦加弦幂为较幂（寄左）。又置勾股相乘积六十步倍之，得一百二十步，以减天元弦幂，得弦减一百二十为同数。与左相消，得减四十弦减五百二十。开无隅方得一十三步，合问。
今有勾弦相乘积六十五步，只云股一十二步，问勾几何。
答曰：五步。
术曰：积自之为益实方空股，自之为从上廉下廉空一，从隅开方得勾。
《草》曰：立天元一为勾，自之得勾幂。又置积六十五步，以天元勾除之，得六十五除以勾为弦，自之得四千二百二十五，除以勾幂为弦幂（寄左）。又置股一十二步，自之与天元勾幂相加得一百四十四加勾幂为同数。与左相消。得勾幂减四千二百二十五除以勾幂加一百四十四。开玲珑三乘方得五步。合问。
今有勾弦相乘积六十五步，只云勾股较七步，问勾几何。
答曰：五步。
术曰：积自之为益实方空，勾股较自之为从上廉倍，勾股较为从下廉，二从隅开方得勾。
《草》曰：立天元一为勾，自之得为勾幂。又置勾弦相乘积六十五步，以天元勾除之，得六十五除以勾为弦，自之得四千二百二十五除以勾幂为弦幂（寄左）。又置勾股较七步加勾得七加勾为股，自之得四十九加十四勾加勾幂为股幂，以加天元勾幂得四十九加十四勾加二勾幂为同数。与左相消，得二勾幂加十四勾加四十九减四千二百二十五除以勾幂。开同体三乘方得五步。合问。
今有勾弦相乘积六十五步，只云勾股和一十七步，问勾几何。
答曰：五步。
术曰：积自之为益实方空，勾股和自之为从上廉，倍勾股和为益下廉，二从隅开方得勾。
《草》曰：立天元一为勾，自之得勾幂。又置勾股相乘积六十五步，以天元勾除之，得六十五除以勾为弦，自之得四千二百二十五除以勾幂为弦幂（寄左）。又置勾股和一十七步，以勾减之得一十七减勾为股，自之得二百八十九减三十四勾加勾幂为股幂，以加天元勾幂，得二百八十九减三十四勾加二股幂为同数。与左相消，得二百八十九减三十四勾加二股幂减四千二百二十五除以勾幂。开同体三乘方得五步。合问。
今有勾弦相乘积六十五步，只云勾弦较八步，问勾几何。
答曰：五步。
术曰：以积为益实，勾弦较为从方一，从隅开方得勾。
《草》曰：立天元一为勾，以除勾弦相乘积六十五步，得六十五除以勾为弦（寄左）。又置勾弦较八步，以加天元勾得八加勾为同数。与左相消，得勾加八减六十五除以勾。开平方得五步。合问。
今有勾弦相乘积六十五步，只云勾弦和一十八步，问勾几何。
答曰：五步。
术曰：以积为益实，勾弦和为从方一，益隅开方得勾。
《草》曰：立天元一为勾，以除勾弦相乘积六十五步，得六十五除以勾为弦（寄左）。又置勾弦和一十八步，以天元勾减之，得一十八减勾为同数。与左相消，得一十八减勾减六十五除以勾。开平方得五步。合问。
今有勾弦相乘积六十五步，只云股弦较一步，问勾几何。
答曰：五步。
术曰：以股弦较乘积倍之为益实，股弦较自之为从方廉空一，从隅开方得勾。
《草》曰：立天元一为勾，自之得勾幂。又置勾股相乘积六十五步，以天元勾除之，得六十五除以勾为弦，自之得四千二百二十五除以勾幂为弦幂（寄左）。又置股弦较一步以减弦得六十五，除以勾减一为股，自之得四千二百二十五，除以勾幂减一百三十除以勾加一为股幂，以加天元勾幂得四千二百二十五除以勾幂减一百三十除以勾加一加勾幂为同数。与左相消，得一加一百三十除以勾加勾幂。开立方得五步。合问。
今有勾弦相乘积六十五步，只云股弦和二十五步，问勾几何。
答曰：五步。
术曰：以股弦和乘倍积为益实，股弦和自之为从方廉空一，从隅开方得勾。
《草》曰：立天元一为勾，自之得勾幂。又置勾股相乘积六十五步，以勾除之得为弦，自之得四千二百二十五除，以勾幂为弦幂（寄左）。又置股弦和二十五步，以弦减之，得二十五减六十五除以勾为股，自之得四千二百二十五，除以勾幂减三千二百五十除以勾加六百二十五为股幂，以加天元勾幂得四千二百二十五，除以勾幂减三千二百五十除以勾加六百二十五加勾幂为同数。与左相消，得勾幂加六百二十五减三千二百五十除以勾。开立方得五步。合问。
今有勾弦相乘积六十五步，只云股和较六步，问勾几何。
答曰：五步。
术曰：股和较乘积倍之为益实，股和较自之，加倍积为从方倍，股和较为益廉，二从隅开方得勾。
《草》曰：立天元一为勾，自之得勾幂。又置勾弦相乘积六十五步，以勾除之得六十五除以勾为弦，自之得四千二百二十五，除以勾幂为弦幂（寄左）。又置股和较六步即勾较和以天元勾减之，得六减勾为股弦较，再以减弦得六十五除以勾减六加勾为股，自之得四千二百二十五除以勾幂减七百八十除以勾加一百六十六减十二勾加勾幂为股幂，以加天元勾幂得四千二百二十五除以勾幂减七百八十除以勾加一百六十六减十二勾加二勾幂为同数。与左相消，得二勾幂减七百八十除以勾加一百六十六减十二勾。开同体立方得五步。合问。
今有勾弦相乘积六十五步，只云股和和三十步，问勾几何。
答曰：五步。
术曰：股和和乘积倍之为益实，股和和自之加倍积为从方倍，股和和为益廉，二从隅开方得勾。
《草》曰：立天元一为勾，自之得勾幂。又置勾弦相乘积六十五步，以勾除之得六十五，除以勾为弦，自之得四千二百二十五除以勾幂为弦幂（寄左）。又置股和和三十步，即勾和和以天元勾减之，得三十减勾为股弦和，再以弦减之得三十减勾减六十五除以勾为股，自之得四千二百二十五除以勾幂减三千九百，除以勾加一千零三十减六十勾加勾幂为股幂，以加天元勾幂，得四千二百二十五除以勾幂减三千九百除以勾加一千零三十减六十勾加二勾幂为同数。与左相消，得二勾幂减三千九百除以勾加一千零三十减六十勾。开同体立方得五步。合问。
今有勾弦相乘积六十五步，只云股较较四步，问勾几何。
答曰：五步。
术曰：股较较乘积倍之为益实，股较较自之以减倍积余为从方倍，股较较为从廉，二益隅开方得勾。
《草》曰：立天元一为勾，自之得勾幂。又置勾弦相乘积六十五步，以勾除之得六十五，除以勾为弦，自之得四千二百二十五除以勾幂为弦幂（寄左）。又置股较较四步，即勾较较以减天元勾，得勾减四为股弦较，再以减弦得六十五除以勾减勾加四为股，自之得四千二百二十五除以勾幂加五百二十，除以勾减一百一十四减八勾加勾幂为股幂，以加天元勾幂得四千二百二十五除以勾幂加五百二十除以勾减一百一十四减八勾加二勾幂为同数。与左相消，得五百二十除以勾减一百一十四减八勾加二勾幂。开同体立方得五步。合问。
今有勾弦相乘积六十五步，只云股较和二十步，问勾几何。
答曰：五步。
术曰：以股较和乘积倍之为益实，股较和自之以倍积减之余为从方倍，较和为从廉二，从隅开方得勾。
《草》曰：立天元一为勾，自之得勾幂。又置勾弦相乘积六十五步以勾除之，得六十五步除以勾为弦，自之得四千二百二十五，除以勾幂为弦幂（寄左）。又置股较和二十步，即勾和较以天元勾加之得二十加勾为股弦和，再以弦减之得二十加勾减六十五步除以勾为股，自之得四千二百二十五除以勾幂减二千六百除以勾加二百七十加四十勾加勾幂为股幂，以加天元勾幂，得四千二百二十五，除以勾幂减二千六百除以勾加二百七十加四十勾加二勾幂为同数。与左相消，得二勾幂加四十勾加二百七十减二千六百除以勾开同体立方得五步。合问。
今有股弦相乘积一百五十六步，只云勾五步，问股几何。
答曰：一十二步。
术曰：积自之为益实方空，勾自之为从上廉下廉空，一从隅开方得股。
《草》曰：立天元一为股，自之得股幂。又置股弦相乘积一百五十六步，以股除之得一百五十六步，除以股为弦，自之得二万四千三百三十六，除以股幂为弦幂（寄左）。又置勾五步自之得二十五步为勾幂，以加天元股幂，得二十五步加股幂为同数。与左相消，得二十五步加股幂减二二万四千三百三十六除以股幂。开玲珑三乘方得一十二步。合问。
今有股弦相乘积一百五十六步，只云勾股较七步，问股几何。
答曰：一十二步。
术曰：积自之为益实方空，勾股较自之为从上廉，倍勾股较为益下廉，二从隅开方得股。
《草》曰：立天元一为股，自之得股幂。又置勾股较七步以减天元股，得股减七为勾，自之得四十九减一十七股加股幂为勾幂，以加天元股幂，得四十九减一十四股加二股幂为弦幂（寄左）。又置股弦相乘积一百五十六步，以天元股除之，得一百五十六除以股为弦，自之得二万四千三百三十六除以股幂为弦幂为同数。与左相消，得二股幂减一十四股加四十九减二万四千三百三十六除以股幂。开同体三乘方得一十二步。合问。
今有股弦相乘积一百五十六步，只云勾股和一十七步，问股几何。
答曰：一十二步。
术曰：积自之为益实方空，勾股和自之为从上廉，倍勾股和为益下廉，二从隅开方得股。
《草》曰：立天元一为股，自之得，为股幂。又置勾股和一十七步，以天元股减之得一十七步减股为勾，自之得二百八十九减三十四股加股幂为勾幂，以加天元股幂得二百八十九减三十四股加二股幂为弦幂（寄左）。又置股弦相乘积一百五十六步，以天元股除之得一百五十六步，除以股为弦，自之得二万四千三百三十六除以股幂为同数。与左相消，得二股幂减三十四股加二百八十九股减二万四千三百三十六除以股幂。开同体三乘方得一十二步。合问。
今有股弦相乘积一百五十六步，只云勾弦较八步，问股几何。
答曰：一十二步。
术曰：勾弦较乘积倍之为益实，勾弦较自之为从方廉空一，从隅开方得股。
《草》曰：立天元一为股，自之得股幂。又置股弦相乘积一百五十六步，以股除之得一百五十六步，除以股为弦，自之得二万四千三百三十六除以股幂为弦幂（寄左）。又置勾弦较八步以减弦，得一百五十六步除以股减八为勾，自之得二万四千三百三十六除以股幂减二千四百九十六除以股加六十四，以加天元股幂，得二万四千三百三十六除以股幂减二千四百九十六除以股加六十四加股幂为同数。与左相消，得股幂加六十四减二千四百九十六除以股。开立方得一十二步。合问。
今有股弦相乘积一百五十六步，只云勾弦和一十八步，问股几何。
答曰：一十二步。
术曰：勾弦和乘积倍之为益实，勾弦和自之为从方廉空，一从隅开方得股。
《草》曰：立天元一为股，自之得为股幂。又置股弦相乘积一百五十六步，以股除之得一百五十六步除以股为弦，自之得二万四千三百三十六除以股幂为弦幂（寄左）。又置勾弦和一十八步，以弦减之得一十八减一百五十六步除以股为勾，自之得三百二十四减五千六百一十六除以股加二万四千三百三十六除以股幂为勾幂，以加天元股幂得三百二十四减五千六百一十六除以股加二万四千三百三十六除以股幂加股幂为同数。与左相消，得股幂加三百二十四减五千六百一十六除以股。开立方得一十二步。合问。
今有股弦相乘积一百五十六步，只云股弦较一步，问股几何。
答曰：一十二步。
术曰：以积为益实，股弦较为从方一，从隅开方得股。
《草》曰：立天元一为股，以除股弦相乘积一百五十六步，得一百五十六步除以股为弦（寄左）。又置股弦较一步以加天元股，得股加一为同数。与左相消，得股幂加股减一百五十六。开平方得一十二步。合问。
今有股弦相乘积一百五十六步，只云股弦和二十五步，问股几何。
答曰：一十二步。
术曰：以积为益实，股弦和为从方一益隅，开方得股。
《草》曰：立天元一为股，以除股弦相乘积一百五十六步，得一百五十六步除以股为弦（寄左）。又置股弦和二十五步以天元股减之，得二十五减股为同数。与左相消，得减二十五股减股幂减一百五十六。开平方得一十二步。合问。
今有股弦相乘积一百五十六步，只云勾和较二十步，问股几何。
答曰：一十二步。
术曰：勾和较乘积倍之为益实，勾和较自之与倍积相加为从方倍，勾和较为益廉二，从隅开方得股。
《草》曰：立天元一为股，自之得为股幂。又置股弦相乘积一百五十六步，以股除之得一百五十六步除以股为弦，自之得二万四千三百三十六除以股幂为弦幂（寄左）。又置勾和较二十步，即股较和以天元股减之，则得二十减股为勾弦较，再以减弦得一百五十六减二十减加股为勾，自之得二万四千三百三十六除以股幂减六千二百四十除以股加七百一十二减四十股加股幂为勾幂，以加天元股幂得二万四千三百三十六除以股幂减六千二百四十除以股加七百一十二减四十股加二股幂为同数。与左相消，得七百一十二减六千二百四十除以股减四十股加二股幂。开同体立方得一十二步。合问。
今有股弦相乘积一百五十六步，只云勾和和三十步，问股几何。
答曰：一十二步。
术曰：勾和和乘积倍之为益实，勾和和自之加倍积为从方倍，勾和和为益廉二，从隅开方得股。
《草》曰：立天元一为股，自之得股幂。又置股弦相乘积一百五十六步，以股除之得一百五十六除以股为弦，自之得二万四千三百三十六除以股幂为弦幂（寄左）。又置勾和和三十步即股和和以天元股减之得三十减股为勾弦和。再以弦减之得，三十减一百五十六除以股减股为勾，自之得二万四千三百三十六除以股幂减九百三十六除以股加一千一百一十二减六十股加股幂为勾幂，以加天元股幂得二万四千三百三十六除以股幂减九百三十六除以股加一千一百一十二减六十股减九百三十六除以股为同数。与左相消，得二股幂减一千一百一十二减六十股减九百三十六除以股。开同体立方得一十二步。合问。
今有股弦相乘积一百五十六步，只云勾较较四步，问股几何。
答曰：一十二步。
术曰：勾较较乘积倍之为益实，勾较较自之以减倍积从为从方，倍勾较较为从廉二，益隅开方得股。
《草》曰：立天元一为股，自之得万四千三百三十六除以股幂为弦幂（寄左）。又置股弦相乘积一百五十六步，以股除之，得一百五十六步除以股为弦，自之得二万四千三百三十六除以股幂为弦幂（寄左）。又置勾较较四步即股较较以减天元股，得股减四为勾弦较，再以减弦得一百五十六步除以股减股加四为勾，自之得二万四千三百三十六除以股幂加一千二百四十八除以股减二百九十六减八股加股幂为勾幂，以加天元股幂，得二万四千三百三十六除以股幂加一千二百四十八除以股减二百九十六减八股加二股幂为同数。与左相消，得一千二百四十八除以股减二百九十六减八股加二股幂。开同体立方得一十二步。合问。
今有股弦相乘积一百五十六步，只云勾较和六步，问股几何。
答曰：一十二步。
术曰：勾较和乘积倍之为益实，勾较和自之减倍积为益方，倍勾较和为从廉二，从隅开方得股。
《草》曰：立天元一为股，自之得股幂。又置股弦相乘积一百五十六步，以股除之得一百五十六步除以股为弦，自之得二万四千三百三十六除以股幂为弦幂（寄左）。又置勾较和六步即股和较，以加天元股得六加股一为勾弦和，再以弦减之，得六加股减一百五十六步除以股为勾，自之得二万四千三百三十六除以股幂减一千八百七十二除以股减二百七十六加一十二股加股幂为勾幂，以加天元股幂得二万四千三百三十六除以股幂减一千八百七十二除以股减二百七十六加一十二股加股幂为二勾幂为同数。与左相消，得二勾幂减一千八百七十二除以股减二百七十六加一十二股。开同体立方得一十二步。合问。
今有勾弦较之股弦较幂八步，只云弦一十三步，问勾股和几何。
答曰：一十七步。
术曰：倍勾弦较之股弦较幂，以减弦自之幂余为从实倍弦为益方，一从隅开方得勾股和。
《草》曰：立天元一为勾股和，以弦一十三步减之，得勾股和减一十三为弦和较，自之得一百六十九减二十六勾股和加勾股和幂为弦和较幂（寄左）。又置勾弦较之股弦较幂八步，倍之得一十六步为同数。与左相消，得一百五十三减二十六勾股和加勾股和幂。开换骨平方得一十七步，合问。
今有勾弦和之股弦和幂四百五十步，只云弦一十三步，问勾股和几何。
答曰：一十七步。
术曰：倍勾弦和之股弦和幂以弦自之幂减之，余为益实倍弦为从方，一从隅开方得勾股和。
《草》曰：立天元一为勾股和，以加弦一十三步得一十三加弦为弦和和，自之得一百六十九加二十六勾股和加勾股和幂为弦和和幂（寄左）。又置勾弦和之股弦和幂四百五十步倍之得九百步为同数。与左相消，得勾股和幂加二十六勾股和减七百三十一。开平方得一十七步。合问。
今有勾弦和之股弦较幂一十八步，只云弦一十三步，问勾股较几何。
答曰：七步。
术曰：倍勾弦和之股弦较幂，以减弦自之幂，余为从实倍弦为益方，一从隅开方得勾股较。
《草》曰：立天元一为勾股较，以减弦一十三步，得一十三减勾股较为弦较较，自之得一百六十九减二十六勾股较加勾股较幂为弦较较幂（寄左）。又置勾弦和之股弦较幂一十八步倍之，得三十六步为同数。与左相消，得一百三十三减二十六勾股较加勾股较幂。开平方得七步。合问。
今有勾弦较之股弦和幂二百步，只云弦一十三步，问勾股较几何。
答曰：七步。
术曰：倍勾弦较之股弦和幂以弦自幂减之，余为益实倍弦为从方，一从隅开方得勾股较。
《草》曰：立天元一为勾股较，以加弦一十三步得一十三加勾股较为弦较和，自之得一百六十九减二十六勾股较加勾股较幂为弦较较幂（寄左）。又置勾弦较之股弦和幂二百步倍之得四百步为同数。与左相消，得勾股较幂加二十六勾股较减二百三十一。开平方得七步。合问。
今有股弦较之弦和和幂三十步，只云勾五步，问弦较较几何。
答曰：六步。
术曰：以股弦较之弦和和幂为实，勾为法实如法而得弦较较。
《草》曰：立天元一为弦较较，以勾五步乘之得五弦较较为如积（寄左）。又置股弦较之弦较之弦和和幂三十步为同数。与左相消，五五弦较较减三十。开无隅方得六步。合问。
今有勾弦较之弦和和幂二百四十步，只云股一十二步，问弦较和几何。
答曰：二十步。
术曰：以勾弦较之弦和和幂为实股，为法实，如法而得弦较和。
《草》曰：立天元一为弦较和，以股一十二步乘之，得一十二乘以弦较和为如积（寄左）。又置勾弦较之弦和和幂二百四十步为同数。与左相消，得一十二乘弦较和减二百四十。开无隅方得二十步。合问。
今有股弦较之弦较和幂二十步，只云勾五步，问弦和较几何。
答曰：四步。
术曰：以股弦较之弦较和幂为实勾，为法实，如法而一得弦和较。
《草》曰：立天元一为弦和较，以勾五步乘之，得五乘以弦和较为如积（寄左）。又置股弦较之弦较和幂二十步为同数。与左相消，得五弦和较减二十。开无隅方得四步。合问。
今有勾弦和之弦较和幂三百六十步，只云股一十二步，问弦和和几何。
答曰：三十步。
术曰：以勾弦和之弦较和幂为实股，为法实，如法而一得弦和和。
《草》曰：立天元一为弦和和，以股一十二步乘之，得一十二乘以弦和和为如积（寄左）。又置勾弦和之弦较和幂三百六十步为同数。与左相消，得一十二减三百六十弦和和。开无隅方得三十步。合问。
今有弦和和之弦较和幂六百步，只云勾之股弦和幂一百二十五步，问股弦和几何。
答曰：二十五步。
术曰：以勾之股弦和幂自之为从实方空，弦和和之弦较和幂为从上廉下廉空，一益隅开方得股弦和。
《草》曰：立天元一为股弦和，自之得股弦和幂。又置勾之股弦和幂一百二十五步，以天元股弦和除之得一百二十五除以股弦和为勾，自之得一万五千六百二十五除以股弦和幂为勾幂（寄左）。又置弦和和之弦较和幂六百步，以减天元股弦和幂得六百减股弦和幂为同数。与左相消，得六百减股弦和幂减一万五千六百二十五除以股弦和幂。开玲珑三乘方得二十五步。合问。
今有弦和较之弦较较幂二十四步，只云勾之股弦较幂五步，问股弦较几何。
答曰：一步。
术曰：以勾之股弦较幂自之为从实方空，以弦和较之弦较较幂为益上廉下廉空，一益隅开方得股弦较。
《草》曰：立天元一为股弦较，自之得股弦较幂。又置勾之股弦较幂五步，以天元股弦较除之得为勾，自之得二十五除以股弦较幂为勾幂（寄左）。又置弦和较之弦较较幂二十四步，以加天元股弦较幂，得股弦较幂加二十四为同数。与左相消，得股弦较幂加二十四减二十五除以股弦较幂。开玲珑三乘方得一步。合问。
今有弦和和之弦较较幂一百八十步，只云股之勾弦和幂二百一十六步，问勾弦和几何。
答曰：一十八步。
术曰：以股之勾弦弦和幂自之为益实方空，弦和和之弦较和幂为益上廉下廉空，一从隅开方得勾弦和。
《草》曰：立天元一为勾弦和，自之得勾弦和幂。又置股之勾弦和幂二百一十六步，以天元勾弦和除之得二百一十六除以勾弦和为股，自之得四万六千六百五十六除以勾弦和幂为股幂（寄左）。又置弦和和之弦较较幂一百八十步，以减天元勾弦和幂得弦和幂减一百八十为同数。与左相消，得弦和幂减一百八十减四万六千六百五十六除以勾弦和幂。开玲珑三乘方得一十八步。合问。
今有弦和较之弦较和幂八十步，只云股之勾弦较幂九十六步，问勾弦较几何。
答曰：八步。
术曰：以股之勾弦较幂，自之为益实方空，弦和较之弦较和幂为从上廉下廉空，一从隅开方得勾弦较。
《草》曰：立天元一为勾弦较，自之得勾弦较幂。又置股之勾弦较幂九十六步，以天元勾弦较除之得九十六除以勾弦较为股，自之得九千二百一十六除以勾弦较幂为股幂（寄左）。又置弦和较之弦较和幂八十步，以加天元勾弦较幂得勾弦较幂加八十为同数。与左相消，得勾弦较幂加八十减九千二百一十六除以勾弦较幂。开玲珑三乘方八步。合问。
今有勾股弦连之体积七百八十步，只云弦和和之弦和较幂加勾股和自之幂四百零九步，问弦几何。
答曰：一十三步。
术曰：以勾股弦连之体积四之为益实，弦和和之弦和较幂加勾股和自之幂为从方廉空，一益隅开方得弦。
《草》曰：立天元一为弦，自之得弦幂。又置勾股弦连之体积七百八十步，以天元弦除之得为直积，自之得三千一百二十除以弦为四段直积（寄左）。又置弦和和之弦和较幂加勾股和自之幂四百零九步，以天元弦幂减之，得四百零九减弦幂为同数。与左相消，得四百零九减弦幂减三千一百二十除以弦。开立方得一十三步。合问。
今有勾股弦连之体积七百八十步，只云弦较较之弦较和幂减勾股较自之幂七十一步，问弦几何。
答曰：一十三步。
术曰：以勾股弦连之体积四之为益实，以弦较较之弦较和幂为从方廉空，一从隅开方得弦。
《草》曰：立天元一为弦，自之得弦幂。又置勾股弦连之体积七百八十步，以天元弦除之，得七百八十以除弦直积，自之得三千一百二十除以弦为四段直积（寄左）。又置弦较较之弦较和幂减勾股较自之幂七十一步，以天元弦幂加之得七十一步加弦为同数。与左相消，得七十一步加弦减三千一百二十除以弦。开立方得一十三步。合问。
今有勾股弦连之体积七百八十步，只云勾自之幂乘股自之幂三乘体积三千六百步，问弦几何。
答曰：一十三步。
术曰：以勾股弦连之体积为益实方空，勾幂乘股幂为从，隅开方得弦。
《草》曰：立天元一为弦，以除勾股弦连之体积七百八十步，得七百八十除以弦为直积，自之得六十万八千四百除以弦幂为三乘如积（寄左）。又置勾幂乘股幂三千六百步为同数。与左相消，得六十万八千四百除以弦幂减三千六百。开同体平方得一十三步。合问。
今有勾股弦连之体积七百八十步，只云勾弦较之股弦较乘勾弦和之股弦和三乘体积加勾弦较之勾弦和幂及股弦较之股弦和幂三千七百六十九步，问弦几何。
答曰：一十三步。
术曰：以勾股弦连之体积自之为益实方空，勾弦较之股弦较乘勾弦和之股弦和加勾弦较之勾弦和及股弦较之股弦和幂为从上廉下廉，一益隅开方得弦。
《草》曰：立天元一为弦，自之得弦幂。又置勾股弦连之体积七百八十步，以天元弦除之得七百八十除以弦直积，自之得六十万八千四百除以弦幂为三乘如积（寄左）。又置勾弦较之股弦较乘体积加勾弦较乘勾弦和幂及股弦较之股弦和幂三千七百六十九步以天元弦幂减之，得三千七百六十九减弦幂为同数。与左相消，得三千七百六十九减六十万八千四百除以弦幂减弦幂。开玲珑三乘方得一十三步。合问。
说明：
《勾股天元草》是刘鹗的第二本算学方面的著作。
《勾股天元草》一书，封面题签为“勾股天元草”。此书“序”和“目录”都名之《天元勾股细草》。另有《天元勾股草》、《勾股天玄草》等书名，皆传抄之误。
《勾股天元草》一书封面、目录都无作者署名。作者署名于“天元勾股细草卷上”第一页和“天元勾股细草卷下”第一页。署名为“丹徒 刘鹗 学演”。
现存《勾股天元草》刻本一种，全一册、两卷。
《勾股天元草》无写作、刊刻时间。校点者认为其写作于光绪十八年（1892年）前，根据有二：
1.葛道殷《勾股天元草·序》中记录有“余与司马久交，因测量黄河，结风雨连床之缘”。《三省黄河全图·恭录办理三省黄河河道图说职名·测量与绘图》人员之中记录有“监生 臣 葛道殷”。因此可知《勾股天元草》大致写作、梓行时间。
2.《历代黄河变迁图考》中福润的奏片中已经提出刘鹗著有《勾股天元草》。《历代黄河变迁图考》出版于光绪十八年（1892年）。因此《勾股天元草》写作时间不会晚于光绪十八年（1892年）。
《勾股天元草》一书中使用算筹数字。本书标点时将算筹数字全部转换为中文数字。
《刘鹗集》聘请数学特级教师、“苏步青数学教学奖”获得者余应龙先生标点《勾股天元草》。在标点中，余应龙先生根据题意，用现代几何进行计算，其结果正确无误。
《刘鹗集》根据《勾股天元草》刊刻本标点。