（一）概念特征

复杂网络是一种图论模型，具有相对复杂的拓扑结构。复杂网络建模试图解决三个问题：第一，找出可以刻画网络拓扑结构和行为的统计特性，并且给出衡量这些统计特性的方法；第二，构建网络模型以便帮助我们理解这些统计特性背后的真正意义；第三，基于这些统计特性，研究网络中的行为与局部规则。^[24]

节点、边、度是构成复杂网络的基本要素。一个网络是由若干个节点通过若干条有向或无向边连接起来用以描述节点间关系的图。在网络中，点的度是指以节点作为顶点的边的数目，即连接该节点的边的数目。若为有向图，入度为节点作为终点的有向线段数，出度则为节点为起点的有向线段数。而网络的度指网络中所有节点度的平均值。度分布P（k）指网络中任意一个节点，它的度恰好为k的概率。

在复杂网络中，我们会更多地介绍网络的一些属性。一些典型的属性概念包括点权、介数等。节点的点介数指网络中所有最短路径中经过该节点的数量比例，边介数则指网络中所有最短路径中经过该边的数量比例。介数反映了相应的节点或边在整个网络中的作用和影响力，节点的点介数被定义为对网络韧性的一种度量，是描述图的一种更加合理的方式，能够合理地描述通过这一节点的最短路径数量占比情况，是衡量这一节点重要性的一个重要指标。计算方法为：

在网络中，节点的聚集系数是指与该节点相邻的所有节点之间连边的数目占这些相邻节点之间最大可能连边数目的比例。而网络的聚集系数则是指网络中所有节点聚集系数的平均值，它表明网络中节点的聚集情况，即网络的聚集性，也就是说同一个节点的两个相邻节点仍然是相邻节点的概率有多大，它反映了网络的局部特性。聚集系数是描述网络的稳定性的重要指标，其中，有向加权网络的聚集系数定义如下：

在网络中，两点之间的距离为连接两点的最短路径上所包含的边的数目。而网络的平均路径长度指网络中所有节点间的平均距离，能够反映出网络的全局分布特性。不同的网络结构可赋予平均路径长度不同的含义。如在疾病传播模型中平均路径长度可定义为疾病传播时间，交通网络模型中平均路径长度可定义为站点之间的距离等。

复杂网络的一个重要特性是它的小世界效应。复杂网络的小世界效应是指尽管网络的规模很大，也就是节点非常多，但两个节点之间的距离却没有想象中那么长，很可能比想象中的要短得多。大量的实证研究表明，网络的平均路径长度与网络的节点规模是对数增长的，并且真实网络都具备小世界效应。(https://www.daowen.com)

复杂网络的另一个重要特性是网络的无标度特性。对于随机网络和规则网络，度分布区间非常狭窄，大多数节点都集中在节点度均值的附近，说明节点具有同质性，因此节点度均值可以被看作是节点度的一个特征标度。而在节点度服从幂律分布的网络中，大多数节点的度都很小，而少数节点的度很大，说明节点具有异质性，这时特征标度消失。无标度特性就是指这种节点度的幂律分布。

复杂网络按照拓扑结构有这样一些分类：规则网络、随机网络、小世界网络、无标度网络等。最简单的网络模型为规则网络，在这一类网络中任意两个节点之间的联系遵循一定的规则，通常每个节点的近邻数目都相同。常见的具有规则拓扑结构的网络包括全局耦合网络（也称为完全图）、最近邻耦合网络和星型耦合网络等。

而从某种意义上讲，规则网络和随机网络是两个极端，而复杂网络处于两者之间。节点不是按照确定的规则连线，而是按纯粹的随机方式连线，所得的网络称为随机网络。如果节点按照某种自组织原则方式连线，将演化成各种不同网络。

大部分实际网络既不是完全规则的，也不是完全随机的，呈现出一种灰色效应。瓦茨和斯特罗加茨于1998年引入了一个小世界网络模型，称为WS小世界模型^[25]，作为从完全规则网络向完全随机网络的过渡（见图2-8所示）。

图2-8　小世界网络示例

很多网络都不同程度地拥有如下共同特性：大部分节点只有少数几个连接节点，而某些节点却拥有与其他节点的大量连接，也就是并非所有节点在网络中都是同等重要的。这些具有大量链接的节点所拥有的链接数可能高达几百、几千甚至几百万，而包含这种集散节点的网络被称为无标度网络。