（二）发展历程

复杂网络的研究经历了很长的一段时间。最早可以追溯到1736年欧拉对哥尼斯堡七桥问题的探讨（这一点在后续的图论部分也会提到）。但真正标志复杂网络成为一个独立学科的事件是1998年斯特罗加茨和巴拉巴西提出小世界网络和无标度网络的概念。那么，什么样的拓扑结构比较适合用来描述真实的系统呢？200多年来，对这个问题的研究经历了三个阶段。在最初的100多年里，数学家们认为真实系统各因素之间的关系可以用一些规则的结构表示，如最近邻环网。到了20世纪50年代末，数学家们想出了一种新的构造网络的方法，在这种方法下，两个节点之间连边与否不再是确定的事情，而是根据概率来决定。数学家把这样生成的网络叫作随机网络，这在接下来的40年里一直被很多科学家认为是描述真实系统最适宜的网络。直到最近几年，由于计算机数据处理和运算能力的飞速发展，科学家们发现大量的真实网络既不是规则网络，也不是随机网络，而是具有与前两者皆不同的统计特征的网络。这样的网络被科学家们叫作复杂网络，对于它们的研究标志着第三阶段的到来。

两项研究可以看作是复杂网络研究新纪元开始的标志：第一个是瓦茨及其导师斯特罗加茨教授于1998年6月对小世界网络的集体动力学的探讨^[26]，另一项是巴拉巴西和艾伯特于1999年10月发表的题为《随机网络中标度的涌现》的文章^[27]。这两篇文章分别揭示了复杂网络的小世界特征和无标度性质，并建立了相应的模型以阐述这些特性的产生机理。至此，人们逐渐展开了对复杂网络的研究。

近年来，越来越多的物理学家开始了复杂网络领域的研究。研究对象特殊的尺度效应是其中一个重要原因。我们可以考虑这样一个问题，当我们考虑确定性场景下的拓扑结构变化时，我们通常考虑的是移动一个顶点对网络的影响，但或许像“随机移走3%的顶点会对网络性能产生什么样的影响？”这样的问题会更有意义。这个尺度的网络，是被物理学家称作“足够大”的网络，对它们的研究需要使用统计物理的方法。复杂网络学者在考虑网络的时候，往往只关心节点之间有没有边相连，至于节点到底在什么位置，以及具体的几何关系等都是他们不在意的。在这里，他们把网络不依赖于节点的具体位置和边的具体形态就能表现出来的性质叫作网络的拓扑性质，相应的结构叫作网络的拓扑结构。(https://www.daowen.com)

国内学者对国外复杂网络理论研究的介绍最早始于汪小帆（2002）^[28]，文中回顾了近年来国外复杂网络研究所取得的重要成果，其中包括平均路径长度、聚集系数、度分布等网络度量，Internet、万维网和科学合作网络等现实系统，规则网络、随机网络、小世界网络、无标度网络等网络模型，以及复杂网络上的同步问题等。

而国内对复杂网络理论研究的介绍可追溯到朱涵（2003）^[29]在《物理》杂志上发表的《网络“建筑学”》，文章以小世界、集团化和无标度等概念为中心，介绍了复杂网络的研究进展。之后，吴金闪等^[30]从统计物理学的角度总结了复杂网络的主要研究结果，对无向网络、有向网络和加权网络等三种不同网络统计性质的研究现状分别做了综述，对规则网络、随机网络、小世界网络和无标度网络等网络模型进行了总结，并对网络演化的统计规律、网络上的动力学性质的研究进行了概括。周涛等（2005）^[31]围绕小世界效应和无标度特性等复杂网络的统计特征及复杂网络上的物理过程等问题，概述了复杂网络的研究进展。刘涛等（2005）^[32]依据平均路径长度、聚集系数、度分布等复杂网络的统计性质，从小世界网络和无标度网络等网络模型层面简述了复杂网络领域的相关研究。史定华（2005）^[33]从对网络节点度和度分布的理解入手，对网络分类、网络的演化机理和模型及结构涌现等方面取得的进展进行了总结。

但遗憾的是，就目前而言，科学家们还没有给出复杂网络精确严格的定义，从这十几年的研究来看，复杂网络这一概念包含以下几点内涵：首先，它是大量真实复杂系统的拓扑抽象；其次，它至少在感觉上比规则网络和随机网络复杂，因为我们可以很容易地生成规则网络和随机网络，但就目前而言，还没有一种简单方法能够生成完全符合真实统计特征的网络；最后，由于复杂网络是大量复杂系统得以存在的拓扑基础，因此对它的研究被认为有助于理解“复杂系统之所以复杂”这一至关重要的问题^[34]。