既然导数是当Δx→0时的极限，而极限存在的充分必要条件是左、右极限存在且相等.因此，函数可导的充分必要条件也可表述为Δx→0的左、右极限存在且相等.这两个极限分别称为函数的左导数和右导数.

定义3　如果极限

存在，则称此极限值为函数y＝f（x）在点x0的左导数，记为f′－（x0）.

左导数还可以定义为

同理，如果极限

存在，则称此极限值为函数y＝f（x）在点x0的右导数，记为f′＋（x0）.

右导数也定义为

左导数与右导数统称为单侧导数.(www.daowen.com)

显然，函数y＝f（x）在点x0的可导的充分必要条件是函数在x0点的左导数和右导数均存在且相等.

所以在x＝0的左，右导数分别是

图3.2

从该函数的图形（图3.2）可以清楚地看到，曲线y＝在点（0，0）处没有切线.

定义4　如果函数y＝f（x）在开区间I内的每一点处都可导，则称函数y＝f（x）开区间内可导.此时，对于任一个x∈I都对应着f（x）的唯一的一个导数值，这样就确定了一个新的函数，我们称之为函数y＝f（x）的导函数，简称导数，即

函数y＝f（x）在点x0的导数f′（x0）是导函数f′（x）在点x＝x0处的函数值.即f′（x0）＝

如果函数y＝f（x）在开区间（a，b）上的每一点可导，则称y＝f（x）在（a，b）上可导，此时称y＝f（x）是（a，b）上的可导函数.

如果函数y＝f（x）在开区间（a，b）上可导，且y＝f（x）在点x＝a有右导数f′＋（a），y＝f（x）在点x＝b有左导数f′－（b），则称y＝f（x）在［a，b］上可导，此时称y＝f（x）是［a，b］上的可导函数.