工艺系数灵敏度分析

工艺系数的灵敏度分析主要是分析工艺系数a_ij的变化对最优解的影响，是对改变工艺系数的大小或增加约束、变量以及减少约束、变量等情况的分析，下面举例说明。

（1）增加一个变量x_j

【例2.10】 已知线性规划

新增加一个变量x₆，c₆=3，P₆=（3，4，2）^T，分析最优解的变化情况。

解 加入松弛变量x₃、x₄、x₅，用单纯形法求解，最优表见表2-8。

表2-8

最优解，最优值，最优基及逆矩阵：

对于新增加的变量x₆有：

x₆进基，将计算结果反映到最优表中，用单纯形法求解得到表2-9。最优解，最优值。

表2-9

（2）改变a_ij的值 若变量x_j在最优表中为非基变量，其约束条件中系数a_ij的变化分析步骤可以参照前面介绍的增加变量x_j的情况。

若变量x_j在最优表中为基变量，则在计算反映到最优表后，需要对其进行初等行变换，以保证得到恰当的形式，如表2-11所示。

【例2.11】 对于例2.10，改变x₂的系数为，分析最优解的变化情况。

解 这时目标函数的系数和约束条件的系数都变化了，则有：

将上述计算结果填入最优表x₂的位置得到表2-10。

表2-10

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由表2-10b知原问题和对偶问题都不可行，于是引入人工变量x₆。

在此应当注意，当原问题可行且最优表中λ_j≤0时，已经得到最优解；当原问题可行且最优表中存在λ_j>0时用单纯形法求解；当原问题不可行对偶问题可行时用对偶单纯形法求解；当原问题和对偶问题都不可行时需加入人工变量另找可行基（例2.12）。

表2-10b所在行可用方程表示为：

引入人工变量x₆后得：

将x₆作为基变量代替x₃填入表2-10用单纯形法求解，得到表2-11。

表2-11

最优解，最优值。

（3）增加一个新的约束

【例2.12】 对于例2.10，增加一个新的约束3x₁+2x₂≤12，求新的最优解。

解 先将原问题的最优解代入新的约束中有，故原问题的解不是本例的最优解。在新的约束中加入松弛变量x₆得：

x₁、x₂是基变量，利用表2-7消去x₁、x₂得：

x₆为新的基变量，由于，所以该问题不可行，将上式加入到表2-8中用对偶单纯形法求解得到表2-12。

表2-12

最优解X=（4，0，15，0，1，0）^T，最优值Z=8。

综上所述，当模型的参数发生变化后，可以直接在原线性规划取得最优解的基础上进行分析或求解，这样可以减少计算量。