问题：在一项具有n个时期的生产计划中，企业如何制定生产策略以确定不同时期的生产量和存储量，在满足产品需求量的条件下，使得总成本（生产成本+存储成本）最小。

设第k时期产品的生产量为X_k，生产限量为X_k;第K时期的需求量为dk；第K时期生产Xk件产品的成本为C_k(％)；第矗时期开始有存储量Sk所需的存储成本为H_k(S_k)；M为各期产品存储量上限，不允许缺货，存量下限非负有时也设定一个下限（安全存量），则此问题的数学模型为：

下面用动态规划方法求解此问题。将问题看做是一个n阶段决策问题，决策变量x_k表示第k阶段的生产量，状态变量s_k表示第k阶段开始的存储量。最优指标函数f_k（s_k）为第k阶段初存储量为s_k时，从第k阶段到第n阶段的最小总成本。动态规划的数学模型为：

最后求出f₁（s₁）就是最小总成本。

【例6.4】 一个工厂生产某种产品，1～6月份生产成本和产品需求量的变化情况见表6-9。如果没有生产准备成本，单位产品一个月的存储费为h_k=0.6元，月底交货，分别求下列两种情形6个月总成本最小的生产方案。

1）1月初与6月底存储量为零，不允许缺货，仓库容量为S=50件，生产能力无限制。

2）其他条件不变，1月初存量为10。

表6-9

解 动态规划求解过程如下。

阶段k：月份，k=1，2，…，7。

状态变量s_k：第k个月初的存储量。

决策变量x_k：第k个月的生产量。

状态转移方程：s_k+1=s_k+x_k-d_k。决策允许集合：。阶段指标：。终端条件：f₇（s₇）=0，s₇=0。递推方程：

当k=6时，因为s₇=0，有，所以：

当k=5时，由，得，由于s₅≤50，则当25-s₅＜0时x₅的值取“0”，决策允许集合为：

则有：

（其中s₅≤25时，取下界：s₅>25时，取下界：

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k=4时，0≤s₅≤25，0≤s₄+x₄-40≤25，有40-s₄≤x₄≤65-s₄，决策允许集合为：

当25＜s₅≤50，x₅=0，25≤s₄+x₄-40≤50，有：

取下界：=-18.4s₄+1970

显然该决策不可行，x₅=0，s₄+x₄=65=d₄+d₅，s₅=s₄+x₄-d₄=25，与s₅>25矛盾。因此有：

k=3时，0≤s₄≤40，0≤s₃+x₃-35≤40，有：

D₃（s₃）={x₃|max[0，35-s₃]≤x₃≤75-s₃}

当40≤s₄≤50时，40≤s₃+x₃-35≤50，有：

取决策=85-s₃，f₃（s₃）=-15.4s₃+2386

k=2时，由40≤s₄≤50，0≤s₃≤50，0≤s₂+x₂-30≤50，有30-s₂≤x₂≤80-s₂，x₂的决策允许集合为：

k=1时，由0≤s₂≤50，0≤s₁+x₁-20≤50，20-s₁≤x₁≤70-s₁，只要期初存储量s₁≤20，则x₁的决策允许集合为：

1）期初存储量s₁=0，由各阶段的最优决策及状态转移方程，回溯可求出最优策略。x₁=20，s₂=s₁+x₁-d₁=0+20-20=0，x₂=80，s₃=s₂+x₂-d₂=0+80-30=50，x₃=85-50=35，s₄=s₃+x₃-d₃=50+35-35=50＞40，x₄=0，s₅=50-0-40=10＜25，x₅=25-s₅=15，s₆=10+15-25=0，x₆=45。总成本为2876。1～6月份生产与储存详细计划见表6-10。

表6-10

2）期初存储量s₁=10，与前面计算类似，得到x₁=10，x₂=80，x₃=35，x₄=0，x₅=15，x₆=45。

在实际生产过程中，问题可能比例6.4复杂得多。例如，各期的变动成本和存储成本是一个函数式，甚至是非线性函数，各期有不同的生产量和存储量限制，允许延期交货但要支付缺货费用等情形。