5.7.2.1　刚体惯性张量

为了便于描述刚体转动动能，引入描述刚体惯性的参量“惯性张量”。

图5-17　描述刚体质量分布的惯性张量

如图5-17所示，在刚体上建立坐标系｛B｝，设刚体在点Q处的位置向量＝r＝［x　y　z］T，密度为ρ（r）。与向量r对应的反对称矩阵，则坐标系｛B｝中的惯性张量可定义为

其中

式中，Ixx为对x轴惯性矩；Iyy为对y轴惯性矩；Izz为对z轴惯性矩；Ixy＝Iyx、Ixz＝Izx、Iyz＝Izy为惯性积。

5.7.2.2　以质心为基点的连杆（刚体）动能计算方法

刚体的惯性张量可以用于计算刚体的转动动能。如图5-18所示，为描述机器人连杆i相对于基坐标系｛0｝的运动，可以将动坐标系｛i｝建立在刚体质心Ci处。

图5-18　动坐标系位于连杆i质心时刚体的动能

如图5-18所示，在刚体上Q点附件的一个微元体d V，质量为ρ（Cri）d V，则连杆i的质量为，为常量。

坐标系｛B｝中刚体的质心位置为，当坐标系｛C｝原点OC位于刚体质心C时，＝0。

设连杆i的质心坐标系c i相对于坐标系｛0｝的位姿为0g Ci＝。由式（2-16）可知连杆i上任一点Q在基坐标系｛0｝中的位置为0r＝0p Ci＋RCri；Q点相对于坐标系｛A｝的速度为

在连杆i上Q点附近的一个微元体d V，其质量为ρd V，该微元体的动能为

将式（5-58）代入式（5-57），可得整个刚体的动能K为

因坐标系原点位于刚体的质心d V＝0。刚体动能包括随质心Ci的平动动能T Di和绕质心轴的转动动能T Ri，它们分别为

式（5-61）可以化简。由式（5-18）可知连杆i转动的角速度向量0ωi满足

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刚体转动角速度ω在坐标系｛0｝和坐标系｛i｝之间的关系为

现在面临的关键问题是，如何确定在坐标系｛0｝中描述的角速度张量0i，与坐标系｛i｝中描述的角速度张量Ci之间的关系。

对于姿态矩阵R和向量a以及a的反对称矩阵（a）＝a，存在以下关系式（参见本章末思考与练习第7题）：，即

（Ra）＝RR T　（5-64）

因而，

由式（5-62）和式（5-64）可得，故

将式（5-66）代入式（5-61）可得

上式中利用了。又

因而

因为，故

由式（5-59）和式（5-67）可得刚体动能为

由式（5-68）可以看出，连杆动能包括随质心的平动动能和绕质心旋转的转动动能；连杆动能是连杆位姿的函数，也是质心速度以及连杆转动角速度的函数。在应用式（5-68）时，具体计算步骤如下：

（1）将机器人在某一时刻t的关节变量θ＝［θ1θ2…　θn］代入式（3-4）可求出连杆i上的D-H坐标系｛i｝相对于机器人基坐标系｛0｝的位姿矩阵T＝

（2）利用0T i＝求出坐标｛i｝原点线速度；再利用式（5-19）求出连杆的转动角度0ωi。

（3）利用质心坐标系｛Ci｝与坐标系｛i｝的位置矩阵iT Ci求出质心坐标系｛C｝相对于基坐标系的位姿

（4）利用上式可求出连杆i质心的速度0Ci。

（5）将连杆i质心速度0Ci、连杆转动角速度0ωi、质心坐标系｛Ci｝相对于机器人基坐标系｛0｝的姿态矩阵0R Ci、连杆i相对于其质心的惯性张量CI i代入式（5-68）可计算出连杆i的动能K i。