用状态空间平均法为DCM变换器建模

图1-35 DCM的波形示意图

理想Buck变换器如图1-1所示。下面按照1.2.2小节的三个步骤用状态空间平均法分析DCM下的理想Buck变换器。

1.列写三阶段状态方程和电感电流平均变量方程

选电感电流i（t）和输出电压u（t）作为状态变量，选输入电流i_g（t）作为输出变量。DCM下理想Buck变换器的三种工作状态如图1-36所示。

图1-36 理想Buck变换器DCM下三种工作状态

a）工作状态1 b）工作状态2 c）工作状态3

对DCM下DC-DC变换器的三个工作状态分别列写状态方程与输出方程如下：

电感电流平均变量方程为

式中，函数f（＜u_g（t）＞T_s，＜u（t）＞T_s）为用＜u_g（t）＞T_s和＜u（t）＞T_s表达的（0，d₁T_s）时间段内的电感电压，即图1-35中所示的U_L，d1Ts，f一般为＜u_g（t）＞T_s与＜u（t）＞T_s的线性函数。

工作状态1：开关器件VF导通，二极管VD截止，电路如图1-36a所示，变换器的状态方程与输出方程如下：

工作状态2：开关器件VF截止，二极管VD导通，电路如图1-36b所示，变换器的状态方程与输出方程如下：

工作状态3：开关器件VF与二极管VD都截止，电路如图1-36c所示，变换器的状态方程与输出方程如下：

列写电感电流平均变量方程，可根据图1-35a用＜u_g（t）＞T_s和＜u（t）＞T_s表达的（0，d₁T_s）时间段内的电感电压为

U_L，d1Ts=f（＜u_g（t）＞T_s，＜u（t）＞T_s）=＜u_g（t）＞T_s-＜u（t）＞T_s （1-118）则电感电流在（0，（d₁+d₂）T_s）时间段内的平均值为

2.确定静态工作点和D₂

根据分段列写的状态方程与输出方程可得到

C=D₁C₁+D₂C₂+D₃C₃=[D₁0]，

E=D₁E₁+D₂E₂+D₃E₃=[0]式中，D₃=1-D₁-D₂。

变换器的稳态方程组为

AX+BU=0

Y=CX+EU （1-121）(https://www.daowen.com)

根据式（1-121）可以得到变换器的稳态方程组为

由式（1-123）可得到

-（D₁+D₂）U+D₁U_g=0 （1-126）

由式（1-126）可得到用D₁和D₂表示的电压比M

根据式（1-125）～式（1-128）可解得未知量D₂、I、I_g和电压比M，分别为

K是DCM下变换器的一个重要参数。

当变换器运行在闭环情况下时，对于一给定的变换器，M、K和U已知，将D₁、D2和I表达为M、K和U的函数可便于确定系统的控制策略。这时D₁、D₂和I的表达式分别为

需注意的是电流I所描述的是（0，（d₁+d₂）T_s）时间段内电感电流的直流分量。

3.建立交流小信号状态方程与输出方程

交流小信号的状态方程与输出方程为

则理想Buck变换器的交流小信号的状态方程与输出方程为

由电感电流提供的辅助方程为

所以有

式（1-139）、式（1-140）、式（1-143）为理想Buck变换器的交流小信号方程组，这里时间段内电感电流的交流分量。联立式（1-139）、式（1-140）、式（1-143）可求得各小信号变量。为了便于建立变换器的DCM下小信号等效电路和分析变换器的DCM下低频动态特性，一般将和表示成和的函数，因此，和可表示为