为了考核高阶理论连续体模型复制ab initio计算出的β-Si3 N4陶瓷原子模型的断裂过程的能力，在二维空间构造一个尺寸为50Å×15Å的IGF模型，其中IGF宽度为10Å（阴影区），如图4-26所示。需要说明的是，本专著之所以将模型的尺寸取整而未采用与907-原子模型完全相同的尺寸是为了简化计算，在采用无网格伽辽金法离散模型区域时便于获得均匀分布的场节点。此外，考虑到ab initio计算是在单轴拉伸情况下进行的，因此无需三维模型，二维空间的模型就足以描述材料的整个变形过程。模型的左边界固定，上下边界在y轴方向固定（模拟半无限体的原子模型结构），在右边界上施加一个由位移控制的单轴拉伸作用（图4-26），控制位移步长为Δu=0.2Å。氮化硅晶体的弹性模量为E晶体=350GPa。IGF的弹性模量EIGF可以根据用ab initio计算方法得出的本构关系曲线（图4-27）的平均斜率E（约为170GPa）通过混合定律求得，具体的计算公式为：

式中：V晶体=0.8，VIGF=0.2分别表示氮化硅晶体和IGF结构在整个模型中的体积分数。

图4-26　IGF连续体模型及其边界条件（单位：Å）(www.daowen.com)

图4-27　ab initio计算与高阶理论所得应力-应变曲线对比

通过上式计算出的晶粒间似玻璃膜层的弹性模量EIGF=56GPa。同样，根据ab initio计算方法得出的本构关系曲线可以推算出泊松比约为ν=0.22；似玻璃膜层的损伤演化参数k0=0.18，ku=0.6；晶体的损伤演化参数k0=0.2，ku=0.6。计算采用51×11的均匀分布的节点来离散整个模型区域。此外，为了求得高阶刚度系数矩阵，采用40×12的矩形背景网格及四点积分规则来进行高斯积分。考虑到β-Si3 N4晶体的晶胞具有四面体结构，在计算中取四面体晶胞的边长作为内长度尺度参数r。根据Si—N键的键长（1.7Å）可以计算出内长度尺度参数r=2.94Å。整个模拟过程共计施加了22步增量位移使陶瓷模型完全断裂。