一阶电路零状态响应优化方案

动态电路在初始状态为零的情况下，仅由独立电源作为激励引起的响应，称为零状态响应（Zero-state Response）。初始状态为零意味着在换路前uC（0-）=0和iL（0-）=0，即电路没有初始储能。因此，电路的响应形式，不仅与电路的结构和参数有关，还与外加的激励源有关。本节讨论一阶RC电路和RL电路的零状态响应。

1.RC电路的零状态响应

在图4-15（a）所示的电路中，US为直流电源，开关S在t=0时闭合，闭合前电容上没有电荷，即电容的初始状态为零，闭合后，直流电源对电容充电。根据零状态响应的定义和换路定则有

图4-15　RC电路的零状态响应

（a）电路；（b）uc的变化曲线；（c）uR，i的变化曲线

当t≥0+时，由KVL可得

将电阻和电容元件的伏安关系式uR=Ri和代入式（4-31）中，得

式（4-32）为一阶线性常系数非齐次微分方程，该方程的解也可利用高等数学求微分方程的方法确定，为此，可将式（4-32）整理变形为

对式（4-33）两边积分，并应用初始条件，可得

或

用e的指数表示为

即

式（4-35）即为电容电压的零状态响应。

回路中电流和电阻电压为

由式（4-35）～式（4-37）可得到电容电压、电容电流和电阻电压的变化规律如图4-15（b）和图4-15（c）所示，显然是呈指数规律变化。

由式（4-35）可见，非齐次微分方程的解由两部分组成，即

式（4-38）中，u′C=US是非齐次方程的特解，具有与激励相同的形式，所以称之为强制分量（Forced Component）。对于直流、周期激励作用下的RC电路，换路后电路经过一段时间可以达到新的稳态。u′C也就是电容电压在电路重新达到稳态时的值。故又称之为稳态分量（Steady State Component）。为对应齐次方程的通解，其中的积分常数由初始条件来确定。通解的变化规律取决于电路的结构和参数，它按指数规律衰减到零，故称之为暂态分量（Transient Component），也称之为自由分量（Free Component）。电路过渡过程的特点主要反映在自由分量上，电路过渡过程的快慢取决于自由分量的衰减快慢。暂态分量的形式与激励的形式无关，而暂态分量中的积分常数A由激励初始值决定。

从能量的角度来分析，RC电路的零状态响应实际上是电源给电容充电的过程（Charging Process）。电路中的电阻起到限流作用，若电阻值过小就会导致充电电流初始值过大而损坏电容，过大则会导致充电电流初始值过小而充电时间过长。换路之前，电容没有储存电场能量，在换路后，电源通过电阻给电容充电，将电能转换为电场能量，电容储存的电场能量为

而充电过程中电阻消耗的能量为

比较式（4-39）和式（4-40）可以看出，电阻消耗的能量正好与电容储存的能量相等。

例4-9　电路如图4-16所示，t＜0时开关S打开，电路已处于稳态。在t=0时刻闭合开关S，求t＞0时的i（t）。

图4-16　例4-9图

解　t＜0时，电路已处于稳态，电容相当断开，故有uC（0-）=0。t=0时刻闭合开关S，由换路定则有

uC（0+）=uC（0-）=0

对节点1应用KCL有

i=i1+iC

将，，等式代入上式有

整理得

可见该方程为一阶常系数微分方程。设该方程的特解为u′C=K，代入微分方程中可求得

u′C=6V

对应齐次方程的通解为

u″C=Aept

将通解代入对应齐次方程中，消去因子Aept，便得到微分方程的特征方程为

p+1=0

所以特征根为p=-1。

则所求齐次微分方程的通解为

u″C=Ae-t

微分方程的解为

uC=u′C+u″C=6+Ae-t t≥0

利用初始条件，得

0=6+Ae0， A=-6

所以有

故得

i=i1+iC=1+2e-t t≥0

例4-10　电路如图4-17（a）所示，求零状态响应u0（t）。

解　图4-17（a）所示电路中a、b两点的左边是一个含受控源电路，可以用一个戴维南等效电路代替，如图4-17（d）所示，因此，可将其化为一个一阶RC电路问题。

图4-17　例4-10图

（1）根据图4-17（b）所示电路求端口a、b的开路电压uoc（t）。

uoc（t）=-10×103i1=-10×103×3×10-3=-30V(https://www.daowen.com)

（2）根据图4-17（c）所示电路求端口a、b的短路电流isc（t）。

uA（t）=-10×103i1=-10×103×3×10-3=-30V

故得

（3）端口a、b的短路输入电阻Req。

（4）由此可作出等效电路如图4-17（d）所示。将KVL应用于该电路，并利用电路元件的伏安关系，可得

即

此为常系数微分方程，其解为

uC=-30+30e-50tV， t≥0

u0（t）=RLiC=5×103×（-6×10-3）e-50t=-30e-50tV， t≥0

2.RL电路的零状态响应

图4-18（a）所示电路中，开关S在t=0时闭合。闭合前，电感上无初始储能，电路处于零状态。

图4-18　RL电路的零状态响应

（a）电路；（b）电感电流变化曲线

当t≥0后，由KVL可得

将元件的伏安关系uR=RiL，代入式（4-41），得

式（4-42）为一阶常系数线性非齐次微分方程。类似RC电路的讨论，该方程的通解由两部分组成

式（4-43）中i′L是非齐次方程的特解，i″L是对应齐次方程的通解。

非齐次方程的特解i′L应满足

可以求出特解为

齐次方程的通解为

所以，方程（4-42）式的通解为

其中，积分常数A由初始条件决定。由于换路前iL（0-）=0，根据换路定则，有

故电感电流的零状态响应为

式（4-46）所表示的电感电流变化规律如图4-18（b）所示。

例4-11　电路如图4-19（a）所示，t=0时，开关S打开，求t＞0后iL，uL的变化规律。

解　这是RL电路零状态响应问题，先化简电路，得到图4-17（b）所示电路，其等效电阻为

Req=80+200∥300=200Ω

图4-19　例4-11图

由图4-17（b）所示的电路可得

τ=L/Req=2/200=0.01s

电路换路后经过足够长的时间，电路又达到新的稳态，其稳态值为iL（∞）=10A。

所以，t＞0后iL，uL的变化规律为

iL（t）=10（1-e-100t）A

uL（t）=10×Reqe-100t=2000e-100tV

例4-12　如图4-20（a）所示电路中，电感未储能。当t=0时，开关S闭合，求iL（t）和i（t）。

图4-20　例4-12图

解　开关闭合后电路的等效电路如图4-20（b）所示，等效电压源的电压为

等效电阻为

Req=1.2∥6+4=5Ω

电路的时间常数为

所以，电感电流的零状态响应为

电感电压为

电阻R1两端电压和电流分别为