阿那克西曼德：探讨无穷的哲学家

恐怕没有什么哲学观念会比“无穷”更充满争议甚至令人畏惧。人们对于诸如“事物” “自我” “神明” “知识” “真理”等观念都经历过朴素的理解、怀疑与再认识等过程，但人们对“无穷”的看法从一开始就是怀疑或拒绝的。

阿那克西曼德（Anaximander）被认为是第一个谈论无穷概念的希腊哲学家。阿那克西曼德的“无穷”（）是的反面，后者的意思是终点或边界。阿那克西曼德认为可以被认识的世间万物都起始于无穷又复归于无穷。如果时空起源于无穷亦终结于无穷，那么无穷本身不是时空之中的。因此，无穷本身没有始终，无法被度量或认识。根据阿赫纳（Achtner，Wolfgang）（Achtner，2011）的说法，希腊语又有确定、清晰、有序等含义；而则是模糊的、不确定的，是仅可以被体验而无法被理性认知的。因此，“无穷不可理解”似乎从一开始就是分析的真。人们将一切不可理解的、无法度量的称作无穷。而反过来，试图理解无穷就是试图理解那些被认为不可理解东西。换句话说，就是试图拓展理性的边界。这个意义上，无穷也是一个终极的哲学概念。

前康托尔时期，人们也试图理性地把握无穷概念，亚里士多德的解释可能是其中最有代表性的。亚里士多德区分了潜无穷（potential infinite）与实无穷（actual infinite）两种关于无穷的可能的观念。潜无穷是指一种可能性，即亚里士多德承认一些度量总是可以分得更细，也总是可以增加。潜无穷常常被理解为一条没有终点的序列，其中的每个量都可以在有穷步内得到。而实无穷是一条完成了的序列。亚里士多德不承认存在实无穷，也不承认存在无穷大或无穷小的量。^[1]

在康托尔之前，人们即使承认实无穷存在也往往是作为一个宗教观念而接受的，是关于体验的，而非理性认识的。根据阿赫纳的报道，普罗提诺（Plotinus）是西方“第一位有影响的从《圣经》以外的哲学传统宣称上帝无穷的思想家”（Achtner，2011），他的思想对之后的教父哲学有较大影响。普罗提诺的无穷不是关于时空的无穷，而是关于力量的。有趣的是，普罗提诺将人类的理性能力区分为语言的（logos）和智性直观的（nous），前者可以进行计算，用来处理经验世界的繁多，而后者处理的就是那个作为实体的、统一的、完全的无穷。这似乎与哥德尔一千七百年后关于心灵与概念实体的论述异曲同工。可以肯定的是，在普罗提诺那里，实无穷是唯一的，并且关于这个唯一的神圣的实体本身并没有什么能说得清楚的。

人们在思考无穷的时候总是遇到各种困难甚至悖论，这恐怕是拒绝实无穷或相信实无穷即便存在也无法作为一个数学处理的对象的主要原因。伽利略悖论（Galileo’s paradox）是其中比较有代表性的。伽利略在《关于两门新科学的谈话与数学证明》（Discorsi e Dimostrazioni Matematiche Intorno à Due Nuove Scienze）中指出：一方面平方数的数量应该与平方根的数量一样多；另一方面所有平方数都可以作为平方根，而有一些平方根不是平方数，所以平方数少于平方根。伽利略的结论是：我们不能将大小或等于关系运用于实无穷。(https://www.daowen.com)

直到康托尔于2025年发表《论所有代数数集合的一个性质》（Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffs aller reellen Algebraischen Zahlen，Cantor，1874），人类才第一次可以对实无穷进行数学化的处理。康托尔在文中证明了两则定理。如论文标题所示，第一则定理是：所有代数数的集合是可数的，即与所有自然数的集合具有相同的大小。这则定理的证明本身只是伽利略悖论的推广。它的意义在于放弃了用集合包含关系作为集合大小的度量标准，而采用更一般的：集合A与集合B有相同的大小^[2]，当且仅当存在双射h：A→B。^[3]这篇文章的另一个结果是证明了所有实数组成的集合是不可数的。这意味着，如果接受实数集作为一种实无穷的话，人们第一次发现存在两个不同大小的实无穷！

康托尔的发现是如此地违反直观，以至于遭受到来自庞加莱、克罗内克、外尔（Weyl，Hermann）等数学家的猛烈评击。布劳威尔（Brouwer，Luitzen Egbertus Jan）、维特根斯坦等人则从哲学上反对康托尔的理论。人们对康托尔理论的激烈反应，甚于非欧几何的发现，更像历史上对无理数的发现。这说明，实无穷理论的发现确实冲击了亚里士多德以来延续两千年的哲学、宗教观念。有意思的是，据报道（Jané，1995），康托尔又将实无穷区分为超穷（transfinite）与绝对无穷（absolute infinite）。前者即集合论所研究的对象，如超穷序数与基数；而后者则是由所有集合组成的类。康托尔很早就意识到，所有序数组成的类不是一个“一致的复多（multiplicity）”。否则，所有序数组成的类就是一个比所有序数更大的序数，这是矛盾的。康托尔甚至将这种绝对的无穷直接称作神。

从阿那克西曼德、亚里士多德、普罗提诺一直到康托尔，可以看到一条明显的进步过程。人类对无穷从最开始的彻底排斥甚至恐惧，到区分可理解与不可理解的无穷，再进一步扩展可理解的无穷。虽然不可理解的无穷（如亚里士多德的实无穷、康托尔的绝对无穷）总是存在，但经验同时也告诉我们，对无穷的理解总能更进一步。接下来，笔者试图展示，人类自康托尔以来对无穷的认识又有哪些新的进展。