微分系统的反射函数理论与伯努利方程关系

考虑多项式微分系统：

（6.2.1）

其中a_i（t），b_i（t）（i=1，2，…，n）在R上连续可微，并保证该系统的初值问题的解存在唯一.

本节主要是讨论对于系统（6.2.1）满足定理6.1.7中的条件（6.1.14）和条件（6.1.15）的函数F（t，x）的结构形式，并应用它建立多项式微分系统（6.2.1）与Bernoulli方程之间的等价关系，从而应用Bernoulli方程解的性态去研究多项式微分系统（6.2.1）解的性质.

在本节，我们简记

记号“a≠0”表示在t=0的充分小的去心领域内a非零.

对于系统（6.2.1）关系式（6.1.14）等价于

A₀+A₁F+A₂F²=0. （6.2.2）

这里

引理6.2.1 若F（0，x）≡x.则

A₁₀（0）+A₀₁（0）=0； A₀₂（0）+A₁₁（0）+A₂（0）=0. （6.2.3）

证 在式（6.2.2）中取t=0可得对任意x

A₀₁（0）x+A₀₂（0）x²+（A₁₀（0）+A₁₁（0）x）x+A₂（0）x²≡0.

由此得式（6.2.3）成立.

在本节中，我们总假定式（6.2.3）成立.

引理6.2.2 对微分系统（6.2.1），若A₂≠0，存在.则

证 利用关系式（6.2.2），可得

由F（0，x）≡x，可得引理6.2.2的结论正确.

定理6.2.1 若引理6.2.2的条件满足且函数在包含t=0的区间上连续且又若F是式（6.1.14）和式（6.1.15）的一个解，则F=f₀（t）+f₁（t）x.

证 由于

x′=P（t，x，F）=p₀+p₁F+p₂F²， （6.2.5）

这里

p₀=a₁x+a₂x²， p₁=a₂+a₄x，p₂=a_5.

由式（6.1.15）可知，F（t，x）是方程（6.2.5）的反射函数.因此，对方程（6.2.5）的任意解x（t）有

这里

对式（6.2.2）沿着方程（6.2.5）的解求全导数得

A_0t+A_0xP（t，x，F）+（A_1t+A_1xP（t，x，F））F+A_2tF²-A₁P（-t，F，x）-2A₂P（-t，F，x）=0，

即

B₀+B₁F+B₂F²+B₃F³=0， （6.2.6）

这里

由于A₂≠0.由式（6.2.2）得

将上面的关系式代入式（6.2.6）得

C₀+C₁F=0. （6.2.7）

这里

情形1.若C₁≠0，则由前面的表达式，可知C₀是一个关于x的三次多项式，C₁是一个关于x的二次多项式.将它们代入式（6.2.2）得

C₁（A₀C₁-C₀A₁）=-A₂C²_0.

由此可知C₀能够被C₁整除，即F₂=∑³_i=0f_ixⁱ.将它代入式（6.2.2）并比较等式两边x同次幂的系数，可得f₁=0，i=2，3.因此，F=f₀（t）+f₁（t）x.

情形2.若C₁≡0，由式（6.2.7）可知C₀≡0.记，，Δ=u²₁-4u0.

通过简单计算得

应用式（6.2.8）和式（6.2.9）计算可得

因为(https://www.daowen.com)

这里

由引理6.2.2和式（6.2.4）可得.在等式（6.2.10）中取x=x₀可得

由线性微分方程初值问题解的唯一性，可知W（t）≡0.因此·（x-x₀）².从而解方程（6.2.2）可得

且综上所述，定理得证.

定理6.2.2 若A₂≡0，A₁≠0，，则F=-k（t）x.

定理6.2.3 若A₂≡0，A₁≠0，且，则F=f₀（t）+f₁（t）x或

证 由式（6.2.2）可得

由于F（t，x）是微分系统（6.2.5）的反射函数，因此

F（-t，F）=x，F（0，x）=x.

故有

将代入到上面的恒等式中，并且比较方程两边x同次幂的系数可得

由上面的式子容易推得定理的结论成立.

定理6.2.4 设

则（x（t），x（t）e^α）是微分系统（6.2.1）的解，这里x（t）是Bernoulli方程

x′=（a₁+a₂e^α）x+（a₃+a₄e^α+a₅e^2α）x² （6.2.11）的一个解.且若a_i（t+2ω）=a_i（t），b_i（t+2ω）=b_i（t），i=1，2，…，5，则微分系统（6.2.1）的所有形如（x（t），x（t）e^α）的解都是2ω⁃周期解.

证 在定理的假设下，容易验证函数F（t，x）=e^α（t）是方程（6.1.14）和方程（6.1.15）的解.由定理6.1.7可知（x（t），x（t）e^α（t））是系统（6.2.1）的解，这里x（t）是Bernoulli方程（6.2.11）的一个解.当系统（6.2.1）为2ω⁃周期系统时，由上面的条件，可得α（t）是一个2ω⁃周期的奇函数.因此，α（-ω）=0，F（-ω，x）≡x，且由定理6.1.7可得系统（6.1.11）定义在[-ω，ω]上的所有解x（t）都为2ω⁃周期解，系统（6.2.1）的所有形如（x（t），x（t）e^α（t））的解是2ω⁃周期解.

在定理6.2.4中取α=0，我们得到下面的推论.

推论6.2.1 假设

则（x（t），x（t））是微分系统（6.2.1）的解，这里x（t）是Bernoulli方程

x′=（a₁+a₂）x+（a₃+a₄+a₅）x²

的解.且若系统（6.2.1）是2ω⁃周期系统，则系统（6.2.1）的所有形如（x（t），x（t））的解是2ω⁃周期解.

例6.2.1 微分系统

有解（x（t），x（t）），这里x（t）是方程x′=2xsint+x²sin³t的一个解，且这个解为2π⁃周期解.

定理6.2.5 若；

则是微分方程

的反射函数.且是微分系统（6.2.1）的解，这里x（t）是伯努利方程（6.2.12）的解.

证 在定理的假设下，容易验证函数是方程（6.1.14）和（6.1.15）的解.由定理6.1.7可得该定理的结论正确.

推论6.2.2 若定理6.2.5的所有条件成立且系统（6.2.1）为2ω⁃周期系统.

则：

1）若b（-ω）≠0，则系统（6.2.1）存在两个2ω⁃周期解，即

这里φ（t）是柯西问题

的解.

2）若b（-ω）=0，a（-ω）≠c（-ω），则系统（6.2.1）只有一个2ω⁃周期解，即x=0，y=0.

3）若b（-ω）=0，a（-ω）=c（-ω），则微分系统（6.2.1）有无穷多个2ω⁃周期解，x=φ（t），，这里φ（t）是Canchy问题

的解.

证 由于微分方程（6.2.1）和方程（6.2.12）是2ω⁃周期，则由定理6.2.5可知是方程（6.2.12）的Poincaré映射，因此，x=ϕ（t，-ω，x₀）是方程（6.2.12）的2ω⁃周期解，当且仅当，x₀是方程F（-ω，x₀）=x₀的一个解，即x₀（c（-ω）-a（-ω）-b（-ω）x₀）=0.由此可得推论6.2.2的结论正确.

例6.2.2 微分系统

有无穷多个2π⁃周期解，即x=φ（t），，这里φ（t）是方程x′=xcost+e^-sintx²的解.α（t），β（t）是任意连续可微奇的2π⁃周期函数.

综上所述，我们发现在一定的条件下二次多项式微分系统（6.2.1）的解的定性性态有时取决于Bernoulli方程解的性态.同理可讨论一个2n⁃维系统的解与n⁃维系统解之间的关系.