量化自然推理的四个步骤及规则

第三节　量化自然推理

一、量化自然推理

逻辑学研究的核心问题是推理有效性的判定。在命题逻辑中，可以通过真值表来判定命题推理是否有效。推理形式有效，其命题形式的真值表都为真。在词项逻辑中，通过推理规则来保证推理形式的有效性，符合推理规则的推理形式，为有效推理形式。在谓词逻辑中情况又是怎样呢？怎样才能保证谓词推理形式的有效性？这是这一节内容需要解决的问题。美国逻辑学家丘奇（church）证明了在谓词逻辑中，不存在能行的方法判定推理形式是否有效，即在有穷步内断定推理形式是否为有效式。下面我们将介绍一种有限的方法，即量化自然推理。

量化自然推理一般包含四个步骤:

第一，把前提和结论分别符号化，即抽象出前提和结论的命题形式。

第二，根据规则消去前提中的量词。

第三，把前提的不带量词的命题形式运用命题逻辑的推理规则，求得不带量词的结论。

第四，根据规则添加量词，求得最终所需要的结论。

在量化自然推理的推导规则中，较难运用的部分是量词的消去和引入规则。这样的规则共有四条，其中两条是关于全称量词的消去和引入规则，另外两条是关于存在谓词的消去和引入规则。

二、量词的规则

（一）全称消去规则

全称量词消去规则，简称全称消去，记为A－。

规则要求:在一个推导中，从A x Ax，可以得到At（t表示个体常项或个体变项），其中，如果t是个体变项，那么它不在A中被约束。

（1）A x A（x）→A（y）或

（2）A x A（x）→A（a）

两式成立的条件是:

①x是A（x）的自由变元项；

②在（1）中，y为不在A（x）中约束出现的变项，y可以在A（x）中自由出现，也可在证明序列中前面的公式中出现；

③在（2）中，a为任意的个体常项，可以是证明序列中前面公式所指定的个体常项。

条件②这个限制是必要的，否则会导致无效推理。

例如:

（1）A x E y（x≠y）　　　　　　　　　　　　　前提

（2）E y（y≠y）　　　　　　　　　　　　　　 （1）A－

很明显，这个推理是无效的，前提的涵义是对于任一客体，都存在着另一个不同于它的客体。在结论中，其涵义是存在个体y，与自身不相同。因此，这个推理是无效的推理，其原因在于y在前提中是约束变项，全称消去规则要求不能使用这样的约束变项。

全称消去规则的直观意义是:如果某种性质为所有的客体所具有，那么，自然也为任意的某个确定的个体所具有。

（1）所有的人都是有理性的。

柏拉图是人。

所以，柏拉图是有理性的。

首先把前提符号化，令Dx表示“x是人”；Cx表示“x是有理性的”；b表示柏拉图。

（1）A x（Dx→Cx）　　　　　　　　　　　　 前提

（2）Db　　　　　　　　　　　　　　　　　 前提

（3）Db→Cb　　　　　　　　　　　　　　　 （1）A－

（4）Cb　　　　　　　　　　　　　　　　　 （2）（3）肯定前件式

整个推理过程符合谓词推理要求，因此，该推理为有效推理。

（二）全称引入规则

全称量词添加规则，简称全称添加，记为A＋。

规则要求:在一个推导中，从Ay可以得到AxAx。即

A（y）→AxA（x）

该式成立的条件是:

①y在A（y）中自由出现，且y取任何值时A均为真；

②替换y的x要选择在A（y）中不出现的变项符号。

例如:

令Fx表示“x是律师”，论域为人。

（1）Fx　　　　　　　　　　　　　　前提

（2）AxFx　　　　　　　　　　　　 （1）A＋

很明显，这个推理是错误的，错误的原因在于，Fx并非意味着所有的x都具有属性F。

全称添加规则的直观涵义是:如果某种性质为该类事物的任意客体所具有，那么，它自然也为该类事物的所有客体所具有。

（2）所有的动物都是要进行新陈代谢的；

所有的人都是动物；

所以，所有的人都是要进行新陈代谢的。

令Dx表示“x是动物”；Cx表示“x是进行新陈代谢的”；Rx表示“所有的x都是人”。

（1）Ax（Dx→Cx）　　　　　　　　　　 前提（1）

（2）Ax（Rx→Dx）　　　　　　　　　　 前提（2）

（3）Dx→Cx　　　　　　　　　　　　　（1）A－

（4）Rx→Dx　　　　　　　　　　　　　（2）A－

（5）Rx→Cx　　　　　　　　　　　　　（3）（4）假言三段论

（6）Ax（Rx→Cx）　　　　　　　　　　（5）A＋

在整个推理过程中，由于前提（5）中的x适用于所有的客体，所以，可以使用全称引入规则，推理形式为有效式。

（三）存在消去规则

存在量词消去规则，简称存在消去，记为E－。

规则要求:在一个推导中，从ExAx可以得到Ac。即

E x Ax→Ac

该式成立的条件是:

①c是使A为真特定的个体常项，c不能在前面的公式序列中出现；

②c不曾在A（x）中出现；

③A（x）中除x外还有其它自由出现的个体变项时，不能用此规则。

存在消去规则的直观意义是:如果存在客体具有某种性质，那么，总有某个确定的个体具有此种性质（尽管我们此时不能确定具有这种性质的个体是哪一个）。

例如:存在百岁老人，所以，存在某个不确定个体，他是百岁老人。

令Bx表示“x是百岁老人”。

（1）E x Bx　　　　　　　　　　　 前提

（2）Bt　　　　　　　　　　　　 （1）E－

（四）存在引入规则

存在量词引入规则，简称存在引入，记为E＋。

规则要求:在一个推导过程中，由Ac可以得到E x Ax。即

E x Ax→Ac

该式成立的条件是:

①c是特定的个体常项；

②替换c的x要选择在A（c）中没有出现过的变项符号。

存在量词引入规则的直观涵义是:如果某个确定的个体或不确定的个体具有某种性质，那么就确定存在个体具有某种性质。

例如:保定市是中国的古城，所以，存在某个城市是中国的古城。

用Cx表示“x是中国的古城”，b表示“保定市”

（1）Cb　　　　　　　　　　　　　　 前提

（2）E xCx　　　　　　　　　　　　 （1）E＋

关于谓词推理的四个规则总结如下:

全称消去规则（A－）:在一个推导中，从A x Ax，可以得到At（t表示个体常项或个体变项）。其中，如果t是个体变项，那么它不在A中被约束。

全称引入规则（A＋）:在一个推导中，从Ax可以得到A x Ax，这里的x必须是表示任意的客体。

存在消去规则（E－）:在一个推导中，从E x Ax可以得到At，并且t在先行的步骤中未出现过。

存在引入规则（E＋）:在一个推导过程中，由At可以得到E x Ax，（t为个体常项或者个体变项），并且x在A中是自由变项。

三、量化自然推理

前面已经介绍量化自然推理的四个步骤。这个过程是相对的，不是绝对的，只是提供一个参考。接下来，我们以具体的例题来看，四种量词规则在具体推理中到底如何应用。

在谓词逻辑中，常用的推理方法有两种:直接证法和间接证法，其内容与命题逻辑中的类似，下面分别举例说明。

（一）直接证法

例1:证明三段论:“人都是要死的，苏格拉底是人，所以苏格拉底是要死的。”

解:个体域取全总个体域，令F（x）表示“x是人”；G（x）表示“x是要死的”；a:苏格拉底，则:

前提:A x（F（x）→G（x）），F（a）

结论:G（a）

推理形式:A x（F（x）→G（x）），F（a）→G（a）

（1）A x（F（x）→G（x））　　　　　　　　　　　　 前提

（2）F（a）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 前提(https://www.daowen.com)

（3）F（a）→G（a）　　　　　　　　　　　　　　　（1）A－

（4）G（a）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（2）（3）肯定前件式

例2:指出下列推导中的错误，并加以改正。

（1）E x P（x）　　　　　　　　　　　　　　　　　　 前提

（2）E x Q（x）　　　　　　　　　　　　　　　　　　 前提

（3）P（c）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （1）E－

（4）Q（c）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （2）E－

解:第二次使用存在量词消去规则时，所指定的特定个体应该是证明序列以前公式中没有出现过的，正确的推理是:

（1）E x P（x）　　　　　　　　　　　　　　　　　　 前提

（3）E x Q（x）　　　　　　　　　　　　　　　　　 前提

（2）P（c）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （1）E－

（4）Q（d）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （2）E－

（二）间接证法

间接证法主要有两种，反证法和CP规则。

1.反证法

例3:将下列推理符号化并给出形式证明:

晚会上所有人都唱歌或跳舞了，因此或者所有人都唱歌了，或者有些人跳舞了。（个体域为参加晚会的人）

解:设P（x）表示“x唱歌了”；Q（x）表示“x跳舞了”。则

前提:A x（P（x）∨Q（x））

结论:A xP（x）∨E x Q（x）

推理形式:A x（P（x）∨Q（x））→A x P（x）∨E x Q（x）

（1）～（A xP（x）∨E x Q（x））　　　　　　　　 前提（附加）

（2）E x～P（x）∧A x～Q（x）　　　　　　　　　（1）等值判断

（3）E x～P（x）　　　　　　　　　　　　　　　 （2）分解式

（4）～P（a）　　　　　　　　　　　　　　　　 （3）E－

（5）A x～Q（x）　　　　　　　　　　　　　　　 （2）分解式

（6）～Q（a）　　　　　　　　　　　　　　　　 （5）A－

（7）A x（P（x）∨Q（x）））　　　　　　　　　 前提

（8）P（a）∨Q（a）　　　　　　　　 　　　　　 （7）A－

（9）Q（a）　　　　　　　　　　　　　　　　　 （4） （8）否定肯定式

（10）Q（a）∧～Q（a）　　　　　　　　　　　　 （6）（9）矛盾

因此，假设不成立，原推理形式正确。

2.CP规则

例4:将下列推理符号化并给出形式证明:

每一个大学生不是文科生就是理科生；有的大学生是优等生；小张不是文科生但他是优等生。因此，如果小张是大学生，他就是理科生；

解:个体域取全总个体域，设P（x）表示“x是大学生”；Q（x）表示“x是文科生”；S（x）表示“x是理科生”；T（x）表示“x是优等生”；c表示“小张”。则

前提:A x（P（x）→（Q（x）∨S（x））），E x（P（x）∧T（x）），～Q（c）∧T（c）

结论:P（c）→S（c）

推理形式:A x（P（x）→（Q（x）∨S（x））），E x（P（x）∧T（x）），～Q（c）∧T（c）→P（c）→S（c）

（1）A x（P（x）→（Q（x）∨S（x）））　　　　　　　　 前提

（2）P（c）→（Q（c）∨S（c））　　　　　　　　 　　　（1）A－

（3）P（c）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 前提（附加）

（4）Q（c）∨S（c）　　　　　　　　　　　　　　　　　 （2）（3）肯定前件式

（5）～Q（c）∧T（c）　　　　　　　　 前提

（6）～Q（c）　　　　　　　　　　　　（5）分解式

（7）S（c）　　　　　　　　　　　　　（4）（6）否定肯定式

（8）P（c）→S（c）　　　　　　　　　 CP

接下来，我们再看两个例子。

例5:所有的牛是食草动物；

有些动物是牛；

所以，有些动物是食草动物。

解:令Nx表示“x是牛”，Sx表示“x是食草动物”，Dx表示“x是动物”。

（1）A x（Nx→Sx）　　　　　　　　 前提

（2）E x（Dx∧Nx）　　　　　　　　 前提

（3）Dt∧Nt　　　　　　　　　　　 （2）E－

（4）Nt→St　　　　　　　　　　　 （1）A－

（5）Dt，Nt（3）分解式

（6）St（4）（5）肯定前件式

（7）Dt∧St（5）（6）组成式

（8）E x（Dx∧Sx）（7）E＋

例6:逻辑方法是有助于认识客观世界的方法，只有科学的方法才是有助于认识客观世界的方法，所有科学的方法都是在实践中检验过的方法，所以，所有的逻辑方法都是在实践中检验过的方法。

解:令Lx表示“x是逻辑方法”；Yx表示“x是有助于认识客观世界的方法”；Kx表示“x是科学的方法”；Sx表示“x是在实践中检验过的方法”。

（1）A x（Lx→Yx）前提

（2）A x（Kx←Yx）前提

（3）A x（Kx→Sx）前提

（4）Ly前提（附加）

（5）Ly→Yy（1）A－

（6）Ky←Yy（2）A－

（7）Ky→Sy（3）A－

（8）Yy（4）（5）肯定前件式

（9）Ky（6）（8）肯定后件式

（10）Sy（7）（9）肯定前件式

（11）Ly→Sy CP

（12）A y（Ly→Sy）（11）A＋

命题逻辑中推理的无效性判定，如同其形式和有效性一样，是解决了的。一个命题推理是无效的，其真值表至少有一种情况为假。在量化自然推理中，如果构造某个或若干个推导，从给定的前提无法推出预定结论，是否因此判定该推理形式无效？答案是否定的。因为上述情况只能说明没有判定推理的有效，不能说明其就肯定为无效。

判定量化推理无效性的通常方法是解释方法。如果能找到所要判定的推理式的一个解释，使得在该解释下，前提为真而结论为假，那么该推理就是无效的。

例如:

～A x Fx→A x～Fx

想要判定该推理是无效的，就要给出一个解释，使得，前提正确而结论是错误的。令Fx表示x是法官，则该推理解释为:

并非所有的人都是法官，所以，所有的人都不是法官。

该解释前提正确而结论错误，因此推理无效。

例7:给出一个解释，使得下列推理无效。

A x E y Gxy→E x A yGxy

解:个体域为整数，令Gxy表示“x大于y”。则该公式解释为:

如果所有整数都有比自己小的数，那么存在一个最大的整数。该命题前件为真，后件为假，该命题为假。

常用的普遍有效式:

（1）A x Ax→～E x～Ax

（2）E x Ax→～A x～Ax

（3）～E x Ax→A x～Ax

（4）～A x Ax→E x～Ax

（5）A x Ax∧A xBx→A x（Ax∧Bx）

（6）A x Ax∨A xBx→A x（Ax∨Bx）

（7）E x（Ax∨Bx）→E x Ax∨E xBx

（8）E x（Ax∧Bx）→E x Ax∧E xBx

（9）A x（A→Bx）→A→A xBx（x在A中不自由出现）

（10）E x（A→Bx）→A→E xBx（x在A中不自由出现）

（11）A x（Ax→B）→E x Ax→B（x在B中不自由出现）

（12）E x（Ax→B）→A x Ax→B（x在B中不自由出现）