计量资料的统计描述

二、计量资料的 统计描述

（一）集中趋势的描述指标

集中趋势是指一组计量资料的集中位置，说明这组变量值的平均水平，用平均数描述。常用的平均数有均数、几何均数和中位数3种。

1．均数　是算术平均数的简称。总体均数用希腊字母μ表示，样本均数用表示。均数最适用于对称分布资料，特别是正态分布资料。其计算方法如下：

（1）直接法：当样本含量较少时，可将各变量值相加除以变量值个数，即得均数。

式中X代表各变量值，Σ是求和的符号，n为样本含量。

【例8-2】　测得10名健康人的白细胞总数（109／L）分别为5．50、7．00、8．20、4．80、6．70、5．75、6．10、9．30、7．60、7．15。试计算均数。

（2）加权法：当样本含量较多时，可先将各变量值归纳分组编制频数表，用加权法求均数。设分为K组，每组的频数为fi，各组变量值的均数用其组中值X＝（本组段下限＋下组段下限）／2代替。计算公式为：

式中f为频数，X为相同变量值或组中值，Σf即样本含量n，k为组数。

【例8-3】　根据表8-1所给资料计算均数。

先编制频数表如表8-3，然后按公式（8-2）计算如下：

2．几何均数　用G表示。适用于偏态分布资料、变量值呈倍数关系的资料，特别是当变量值取对数后呈对称分布的资料。计算方法有两种：

（1）直接法：当样本含量不多时，其计算公式为

上式可化为对数式【例8-4】　设有4份血清的抗体效价为1∶10，1∶20，1∶40，1∶80，求其平均效价。该资料可根据公式（8-4），用变量值的倒数计算其几何平均数。

这4份血清的抗体平均效价为1∶28。

（2）加权法：当样本含量较多时，先将变量值归纳分组成频数表，再用下式计算

式中f与X分别为相应组的频数和变量值。

【例8-5】　某地13人接种某疫苗后测得血清抗体滴度分组统计如表8-4，试求平均滴度。

这13人的平均抗体滴度为1∶65。

3．中位数和百分位数　把一组变量值从小到大排列，位次居中的变量值称为中位数，用M表示。百分位数是一个位置指标，用Px表示。将一组变量值由小到大排列，分为100等份，每份含1%的变量值。Px将全部变量值分为两部分，理论上有x%的观察值比它小，有（100-x）%的观察值比它大。中位数是一个特定的百分位数，即P50。中位数常用于描述偏态分布资料，特别是分布规律不清楚，一端或两端无确定数值，无法计算均数和几何均数的资料。

（1）中位数的直接计算法：当n较小时先将变量值由小到大排列。

当n为奇数时，其计算公式为：M＝

【例8-6】　9个人某病的潜伏期为2、3、3、3、4、5、6、9、16天，求中位数。

本例n＝9，为奇数，代入公式（8-6），得：M＝

当n为偶数时，其计算公式

【例8-7】　8个人某病的潜伏期（天）为5、6、8、9、11、11、13、＞16，求平均潜伏期。(https://www.daowen.com)

8名病人的平均潜伏期为10天。

（2）百分位数计算方法及中位数的频数表计算法：当n较大时，先编制频数表，按所分组段由小到大计算累计频数和累计频率。先从累计频率找出Px所在组段，Px所在的组段为累计频率首次?x%的组段，然后按下述公式计算其百分位数Px及中位数M（P50）

式中fx为Px所在组的频数，i为该组段的组距，L为其下限，ΣfL为＜L的各组段累计频数。

【例8-8】　238名正常人的发汞值如表8-5的第（1）、（2）栏，求中位数和百分位数P75。

由表8-5的第（4）、（1）栏可见，M（P50）在1．1～组段。现L＝1．1，i＝0．4，fx＝60，ΣfL＝86，代入公式（8—8）得：M＝1．1＋（238×50%-86）＝1．32（μg／g）

同样可得：P75＝1．5＋（238×75%-146）＝1．77（μg／g）

238名正常人的发汞值的中位数为1．32μg／g，P75为1．77μg／g。

百分位数常用于确定医学参考值范围（即正常值范围）。习惯上是确定只包括95%的特定健康状况人群的界值。如确定白细胞总数的95%参考值范围，应分别计算P2．5及P97．5，＜P2．5和＞P97．5均属异常；确定肺活量95%参考值范围，应计算P5，＜P5为异常；确定发汞值95%参考值范围应计算P95，＞P95为异常（表8-5）。

（二）离散趋势的描述指标

【例8-9】　有3组同龄男孩体重（kg）如表8-6，试对资料的特征作出描述。

3组均数相等，但各组数据离散程度不同，表达离散趋势常用的指标有全距、方差、标准差、变异系数和四分位数间距。

1．全距　用R表示，是一组数据中最大值与最小值的差。全距大说明变异度大；反之说明变异度小。如上例R甲＝34-26＝8kg，R乙＝36-24＝12kg，R丙＝34-26＝8kg，说明乙组离散程度较大。全距用来表达变异度大小，简单明了，但不能反映组内所有数据的情况，如上述甲、丙两组资料，靠近中心的两个数据离散程度不同，但其全距相同。

2．方差和标准差　为了克服全距的缺点，应全面地考虑组内每个变量值的离散程度，即考虑总体中每个变量值与总体均数μ之差（离均差）。由于离均差有正有负，数学上可以证明Σ（X-μ）＝0，故将离均差平方后再相加，得离均差平方和Σ（X-μ）2，离均差平方和除了与离散程度有关外，还与变量值的个数N的大小有关。为了消除N的影响，可取其平均值表示离散程度，称总体方差，用σ2表示。

由该式可见，各个离均差平方后，原来的单位都变成了平方单位。为了还原为原来的度量单位，可将总体方差开方，即得总体标准差

实际工作中得到的资料通常是样本资料，μ一般未知，只能用估计，用样本例数n代替N。英国统计学家W．S．Gosset提出用（n-1）代替n来校正，使样本标准差s成为总体标准差的无偏估计值，于是上式变为

式中s表示样本标准差，（n-1）统计学上称自由度，意义是随机变量能“自由”取值的个数。数学上可以证明Σ（X-）2等于ΣΧ2-（ΣΧ）2／n，上式可演变为

用公式8-12分别计算表8-6中3组男孩体重的标准差如下：s甲＝3．1623kg，s乙＝4．7434kg，s丙＝2．9155kg。结果说明3组男孩体重平均水平相同，但离散程度不同，乙组男孩变异程度最大，甲组次之，丙组变异程度最小。

当样本含量较大时可利用频数表，采用加权法计算，其公式如下

在医学论文中常将标准差与均数结合起来描述对称分布的计量资料。其意义为：当两组（或几组）资料均数相近、度量衡单位相同时，标准差大表示变量值的变异度大，各变量值离均数较远，均数的代表性较差；反之，标准差小表示变量值的变异度小，各变量值离均数较近，均数的代表性较好。

3．变异系数　若比较度量衡单位不同或均数相差悬殊的两组（或几组）资料的变异度时，应计算变异系数。变异系数用CV表示，其计算公式如下：

【例8-10】　某地7岁男孩身高均数为123．10cm，标准差为4．71cm；体重均数为22．29kg，标准差为2．26kg，试比较身高、体重何者变异度大。

由此可见，7岁男孩体重的变异度大于身高的变异度。

表8-7资料说明，当均数相差较大时，比较变量值的变异度，不能用标准差，应采用变异系数分析，从变异系数可以看出6岁以下儿童随年龄增加，其身高的变异度逐渐减小。