癌症检查准确度探秘
癌症是人类十恶不赦的敌人，国际社会将2月4日规定为世界癌症日.《2012中国肿瘤登记年报》显示，恶性肿瘤已上升至大城市居民死因第一位，超过了脑血管疾病.恶性肿瘤就是癌症，难怪人们总是谈癌色变.面对日益高发的癌症，我们该如何对付呢？目前，各种癌症的发病原因至今尚未有明确的定论，对于晚期癌症基本上无法治愈.因此，癌症的早期诊断就成为我们战胜癌症的主要手段.
癌症诊断的效果究竟如何呢？如果我告诉你，在一次肝癌普查中，有263人被测定为患有肝癌，可是真正患肝癌的只有1人.你会相信吗？这的确是事实！为什么会出现这样的结果？为了引进分析的方法，我们先看一个简单的例子.
例1 有一批产品，甲厂产品占25%，其不合格率为0.07；乙厂产品占50%，不合格率为0.08；丙厂产品占25%，不合格率为0.02.现在从这批产品中任取一件检查为不合格品，但是该件产品是由哪个厂生产的标志已经脱落.出了不合格品要追究有关厂的经济责任，求甲厂应承担多大责任？
解 设A表示“任取一件产品为不合格品”，B1表示“任取一件为甲厂产品”，B2表示“任取一件为乙厂产品”，B3表示“任取一件为丙厂产品”.于是有
P（B1）＝25%，P（B2）＝50%，
P（B3）＝25%，P（A|B1）＝0.07，
P（A|B2）＝0.08，P（A|B3）＝0.02.
可以考虑按条件概率P（B1|A）的大小来追究甲厂的经济责任.
由概率的乘法公式P（AB1）＝P（A）·P（B1|A）可得
而这批产品中的不合格品由甲厂的不合格品、乙厂的不合格品、丙厂的不合格品3部分构成.于是有
P（A）＝P（B1）P（A|B1）＋P（B2）P（A|B2）＋P（B3）P（A|B3）＝0.25×0.07＋0.50×0.08＋0.25×0.02＝0.0625，
P（AB1）＝P（B1）P（A|B1）＝0.25×0.07＝0.0175.
于是
因此，甲厂应承担28%的经济责任.依同样的方法可计算出P（B2|A）和P（B3|A），弄清乙厂和丙厂应承担的责任.在计算过程中，我们既考虑到各厂产品占全体产品的份额，也考虑了各厂产品的不合格率，如此分清各厂应承担的经济责任是比较合理的.
在上面的计算中，事实上我们已经在不知不觉中建立起一个非常有用的公式，即贝叶斯（Bayes）公式，现在将它加以一般化，表示成通常的定理形式.
定理 如果一个比较复杂的事件可以分解成若干个互不相容的较简单事件B1，B2，…，Bn的并，并且P（Bi）＞0，i＝1，2，…，n，则对任一事件A，有
这个定理对可列无限个互不相容事件也成立.
如果将B1，B2，…，Bn理解为n个互斥的“原因”，那么P（A|Bi）就是原因Bi引起事件A出现的可能性，P（Bi）是“原因”Bi本身出现（而不考虑它引起何种事件出现）的可能性，P（Bi|A）就是在事件A已经出现的条件下，A的出现是由原因Bi所引起的可能性.实践中常常会遇到这样的问题：事件A出现了，欲求它是由“原因”B1，B2，…，Bn中的哪一个引起的可能性最大.这时就可利用贝叶斯公式，先求出所有的P（Bi|A），再取其中最大的一个，比如说P（B1|A），因此就可以说，事件A的出现，由“原因”B1引起的可能性最大.
如果B1，B2，…，Bn是患者可能患的n种不同的疾病，在诊断前先检验与这些疾病有关的某些生理指标（如血压、胆固醇、白细胞等）.如果患者的某些指标偏离正常值，即事件A发生，要问患者患有哪一种疾病.从概率论的角度思考，如果条件概率P（Bi|A）比较大，那么患者患Bi病的可能性也比较大，要计算P（Bi|A），就可以使用上述的贝叶斯公式.现在就举一个癌症诊断的例子.
例2 根据调查，某地居民的肝癌发病率为0.0004.某医院使用甲胎蛋白法对肝癌进行普查.尽管这种检测方法可能是很精确的，但是它仍然会产生两种可能的误诊.首先，它可能会对某些患有肝癌的人作出没有肝癌的测定，这就是所谓的假阴性（false negative）.其次，它可能对某些未患肝癌的人作出已患肝癌的测定，这就是所谓的假阳性（false positive）.假设甲胎蛋白法能正确识别肝癌患者中的95%，因此5%的肝癌患者的测试结果将是“假阴性”.并且未患肝癌者中90%的测试结果为阴性，这就意味着未患肝癌者中的10%，其测试结果将是“假阳性”.在这次普查中查出一批测试结果为阳性的人，求这批人中真的患有肝癌的概率.
解 设A表示“甲胎蛋白检测结果为阳性”，C表示“被检测者患肝癌”，则
表示“甲胎蛋白检测结果为阴性”，
表示“被检测者未患肝癌”.于是所求的概率为P（C|A）.根据题意可知
P（C）＝0.0004，P
）＝0.9996，
P（A|C）＝0.95，P
|
）＝0.90，
P（A|
）＝0.10.(https://www.daowen.com)
因为被检测者可能患肝癌，也可能不患肝癌，只有这两种情况，因此可利用贝叶斯公式求得
由此可知，经甲胎蛋白法检测为阳性的人群中，其中真正患有肝癌的人还是很少的，只有0.38%，即263人中仅有1人.
绝大多数被告知检测为阳性的人要无端地虚惊一场.为避免或减少出现这种不必要的惊慌，我们能够做些什么呢？我们可以尝试采取以下几种方法加以改进：
（1）努力提高检测的敏感度（sensitivity）.所谓一种检测方法的敏感度是指，确实患病的人的检测结果呈阳性的概率.
假设我们的这种努力取得了惊人的成功，研制出了一种敏感度为100%的检测方法.于是，在上述例子中P（A|C）＝100%，其余数据不变，由贝叶斯公式算得
只比原来的0.0038提高一点点，并没有多少改进.
提高敏感度还存在另一个问题，就是它也常常增加了假阳性的概率.这种检测方法可能是以某种物质的一个临界值为基础的.如果测量值高于这个临界值，我们就说检测呈阳性.提高检测敏感度的一种方法就是降低这个临界值.这样就会有更多的肝癌患者的检测结果为阳性.可是，同时也会有更多的未患肝癌者的检测结果呈阳性，即假阳性.
为了说明这种方法的缺点，假设检测的敏感度惊人地提高到100%，其代价是假阳性的百分比从10%提高到15%.于是P（A|C）＝100%，P（A|
）＝15%，其余数据不变，由贝叶斯公式算得
这比原来的概率值0.0038还要小，可见这种方法不可取.
（2）尝试提高检测的特异性（specificity）.所谓检测的特异性是指，确实未患肝癌者检测呈阴性的概率.显然，检测的特异性越高，假阳性的比例也就越小.
在例2中，检测的特异性P（
|
）＝90%，我们将这个指标提高到97%，即P（
|
）＝97%，于是P（A|
）＝3%，其余数据不变，由贝叶斯公式算得
与原来的概率值0.0038相比，确有明显改进.
在许多检测方法中，必须用降低敏感度的代价来换取特异性的提高.如果我们提高确定检测呈阳性的临界值，那么未患肝癌者的检测呈阳性的人数自然会减少，由此特异性提高.可是，同时患肝癌但检测呈阴性者的人数也会随之增多，从而将这些人误诊为未患肝癌.假设我们将特异性指标提高到97%时，也导致敏感度指标从原来的95%降低到90%.于是P（A|C）＝90%，P（
|
）＝97%，P（A|
）＝3%，其余数据不变.由贝叶斯公式算得
这与前面得到的0.0125没有很大差别，而与原来的0.0038相比有显著提高.
如果我们的主要目标是提高检测呈阳性者确实患有肝癌的概率的话，那么上述分析表明，我们应该将精力集中在提高检测方法的特异性上，即使这样做要付出降低检测的敏感度的代价.但是，我们应该清醒地意识到追求这个主要目标的提高，必定会使得更多的肝癌早期患者被误诊为阴性.
（3）影响检测结果的第三个重要因素是被检测群体的肝癌发病率.在例2中，肝癌发病率为0.0004，如果将这个发病率提高到0.004，那么一个检测为阳性者确为肝癌患者的概率将会有怎样的改变呢？重新用P（C）＝0.004，P（
）＝0.996代入贝叶斯公式，其余数据与例2相同，由计算可得
这与原来的概率值0.0038相比，有了很大的提高.
如果将肝癌发病率提高到0.04，即P（C）＝0.04，按上述方法可以算得P（C|A）＝0.284，如果将发病率进一步提高到0.1，即P（C）＝0.1，可以算得P（C|A）＝0.514，如果能将发病率再提高到P（C）＝0.5，则可得到P（C|A）＝0.90，也就是说，每100个检测为阳性的人中有90人确实患有肝癌.这个精确度已经相当高了.
由上面的讨论可以知道，发病率的提高对于医疗检测准确度的提高最为有效.可是，怎样才能提高发病率呢？通常一个有经验的医生，总是先进行仔细的问诊，并采用一些简单易行的辅助方法进行检查，当他怀疑某个对象有可能患肝癌时，再建议用甲胎蛋白法检测.这时，在被怀疑的对象中诊断出的肝癌发病率已经显著提高了.例如，如前所述，在被怀疑的对象中P（C）＝0.5时，就可以得到P（C|A）＝0.90，即高达90%的准确度.因此，对一些疑难病症，医生总要用几种不同的方法进行检测，这样可以大大提高诊断的准确度.
在例2中，进行一次甲胎蛋白检测，也就是进行了一次试验.P（C）是在试验之前就已经知道的概率，所以习惯上称它为先验概率，即先于试验的概率.实际上它是我们过去已经掌握的情况的反映，对试验将会出现的结果提供了一定的信息.而条件概率P（C|A）反映在试验以后，试验结果呈阳性（A）来自于肝癌患者（C）的可能性的大小，通常称之为后验概率，即后于试验的概率.
贝叶斯公式利用先验概率来算出后验概率.医生的丰富经验可以使先验概率P（C）（发病率）的值大大提高，从而极大提高检测的准确度.因此，人们总喜欢找有经验的医生看病.正是由于贝叶斯公式能有效地利用“经验”的知识（先验概率），帮助人们作出更加准确的判断，因此受到人们普遍重视，并称之为贝叶斯方法.贝叶斯方法现已成为统计学中一个非常重要的工具，并已形成以使用先验信息为其特征的贝叶斯统计学派.
